Производящие функции

Пусть - числовая последовательность,

Определение. , где числа называются коэффициентами, а символ называется переменной,называется формальным степенным рядом.

Обозначение: (24.1)

Любой многочлен можно считать записью формального степенного ряда, в котором все коэффициенты, начиная с какого-то номера, равны нулю.

Определение. Формальный степенной ряд называется производящей функцией последовательности .

Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (24.1) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности - в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной он сходится.

Если вспомнить формулу бинома Ньютона

И положить в этом равенстве , то получим

Мы видим, что является производящей функцией для чисел , . С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел .