Производная, ее геометрический и физический смысл

Пусть функция определена в интервале (a; b) и непрерывна в точке , и пусть . В окрестности точки выбирается произвольная точка x. Тогда разность называется приращением аргумента в точке . А разность – приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол называется углом наклона секущей, а ее угловым коэффициентом.

Из прямоугольного треугольника MPN . Если точка N будет стремиться к M вдоль данной линии, то есть , то секущая MN в пределе перейдет в касательную l, а угол наклона секущей – , в угол наклона касательной – .

Определение:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е .

Геометрический смысл производной.

Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке , т.е .