Многочлены и действия над ними

Определение. Для действительной переменной x функция вида , где a и x –действительные числа, а n – натуральное число или 0 (по-другому это можно записать как ), называется одночленом с действительным коэффициентом.

Определение. Многочлен ‑ это сумма одночленов, т.е. функция вида

.
При этом называется старшим коэффициентом и , ‑ свободным членом, n ‑ степенью многочлена.

Многочлен тождественно равен 0 тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны 0.

Если в записи многочлена нет какой-либо степени неизвестного, это значит, что коэффициент при этой степени равен 0.

На множестве многочленов определены следующие действия:

1. Сложение.

2. Умножение.

3. Деление с остатком.

Разделить на ‑ значит записать в виде , или . Последняя запись аналогична записи для чисел: , или 17 = 5 × 3 + 2.

Теорема (о делении с остатком) [Для любых многочленов и существуют, и притом единственные, многочлены и , такие, что

. (11.1)
При этом степень меньше степени , ‑ неполное частное, ‑ остаток. Разделить на ‑ значит записать в виде (11.1).

Для практического нахождения частного и остатка существует метод деления «уголком».

Пример 11.1. Выполнить «уголком» деление с остатком:

= на = .