Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс)

Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

где - вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение:

(7.1.)

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 7.2).

Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение: (7.2)

где

Рис.7.2.

Уравнение (7.2) называется каноническим уравнением эллипса.

Какая кривая второго порядка перед нами?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

6. ;

7. ;

8. ;