Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Обозначение: (причем ).

Пример

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то × = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Пример

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Пример

j

Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´ =

Пример

Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или (, , ).

Пример

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

Пример

Если , , то .

Пример