Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

(3.1)

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n -неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс (i) обозначает номер уравнения, а второй (j) – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных записываются в виде матрицы A= , которую называют матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Определение. Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Определение. Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Матрица `A = , образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (3.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е.
r(A) = r(`A) = r.

Для множества М решений системы (3.1) имеются три возможности:

1) M = Æ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (3.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n, то система является неопределенной.

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (3.2)

..................

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +... + a_nn x_n = b_n.

Системы (3.2) решаются одним из следующих способов:

1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных (пример);

2) по формулам Крамера (пример);

3) матричным методом (пример).

Определение. Однородной системой m линейных неравенств с n неизвестными называется система вида:

Решение любой системы линейных неравенств сводится к ряду решению систем линейных уравнений.

4. Векторы. N – мерное линейное векторное пространство.

Определение. Вектор - это направленный отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Другой конец отрезка называется началом вектора.

Обозначение: , .

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

.

Пример

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Пример

Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Пример

Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Пример

Суммой векторов является вектор

Пример

Произведение , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

Пример

Определение. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка.

Пример

Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Определение. Тройка e _1, e ₂, e ₃ некомпланарных векторов в R ³ называется базисом, а сами векторы e _1, e ₂, e ₃ - базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x₁ e ₁ + x₂ e ₂ + x₃ e _3, (4.1)

числа x₁, x₂, x₃ в разложении (4.1) называются координатами вектора a в базисе e _1, e ₂, e ₃ и обозначаются a (x₁, x₂, x₃).

Пример

Если векторы e _1, e ₂, e ₃ попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x₁, x₂, x₃ - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R ³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.

Определение. Упорядоченную совокупность (x₁, x₂,..., x _n) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа x_i (i = ) - компонентами, или координатами, вектора.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ¹
¹ (2, 3, 5, 0, 1).

Определение. N-мерное векторное пространство R ⁿ - множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Определение. Система e ₁, e ₂,..., e _m n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа l₁, l₂,..., l_m, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство l₁ e ₁ + l₂ e ₂ +... + l_m e _m = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все l₁=l₂=...= l_m = 0.

Пример

Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R ³, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 4.1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 4.2. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 4.3. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.