Ряды обобщенных функций

Рассмотрим выражения вида , где - последовательность обобщенных функций. Это выражение можно назвать рядом обобщенных функций.

Определение 27.1. Суммой ряда обобщенных функций будем называть функционал (естественно обозначаемый тем же символом ), определенный на пространстве основных функций по правилу:

. (27.1)

Теорема 27.2. Пусть − последовательность локально интегрируемых функций. Пусть для любого компакта ряд сходится равномерно на . Тогда этот ряд можно почленно дифференцировать любое количество раз в обобщенном смысле, и при этом справедлива формула:

. (27.2)

Доказательство. Обозначим через . По условию функция является локально интегрируемой функцией, так как ряд сходится равномерно на каждом компакте . Следовательно, можно рассматривать как (регулярную) обобщенную функцию, которую можно дифференцировать любое количество раз:

.

■

Пример 27.3. Рассмотрим ряд Фурье

, , (27.3)

или, в иной записи,

. (27.4)

Из курса математического анализа нам известен необходимый признак сходимости этого ряда: . Посмотрим теперь на этот ряд с точки зрения теории обобщенных функций, т.е определения 27.1. Мы убедимся, что в этих условиях мы уже можем не предполагать, что последовательность сходится к нулю. Покажем, что ограничение

(27.5)

гарантирует, что ряд (27.3) имеет сумму в пространстве обобщенных функций.

Рассмотрим вспомогательный ряд:

(27.6).

Ряд равномерно сходится. В самом деле, общий член этого ряда можно оценить:

.

Так как ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд (27.6) сходится равномерно на всей прямой. Тогда сумма этого ряда является непрерывной функцией и поэтому − регулярной обобщенной функцией, следовательно, ее можно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию).

Продифференцировав (27.6) раза, получим:

.

Предложение 27.4. Справедлива формула:

. (27.7)

Замечание. С точки зрения математического анализа ряд расходится (не выполнен необходимый признак сходимости ряда).

Доказательство. Рассмотрим функцию , .

Продолжим ее на всю ось как периодическую функцию с периодом .

Разложим в ряд Фурье: .

Ряд по признаку Вейерштрасса равномерно сходится на всей оси. Тогда по теореме 27.2 этот ряд можно дифференцировать любое число раз. Получаем

. (27.8)

С другой стороны, на промежутке эту производную можно записать в виде и далее периодически продолжить:

Повторим дифференцирование еще раз. Из формулы (27.8) получаем

(27.9).

С другой стороны, из выше приведенного графика функции видно, что она имеет разрывы только 1-го рода в точках . Воспользуемся предложением 25.10. Тогда

(27.10).

Заметим, что . Из вышеприведенного графика функции видно, что скачки функции равны 1, т.е. для любого натурального .

Приравнивая (27.9) и (27.10), получим формулу (27.7).

§26. Полнота пространства

Пространство обобщенных функций мы не наделяем какой-либо метрикой и, более того, можно показать, что это нельзя сделать разумным образом. Мы можем говорить лишь о сходимости последовательностей его элементов, которую принято называть слабой сходимостью:

(*) последовательность обобщенных функций сходится слабо к обобщенной функции , если для любой основной функции .

Приведем также следующую теорему, в которой рассматривается подобный вариант полноты пространства обобщенных функций .

Теорема 26.1. Пространство является слабо полным в следующем смысле:

(**) если задана последовательность обобщенных функций и для любой основной функции существует предел , то функционал , определен правилом , является линейным и непрерывным. ■

Для доказательства этой теоремы нам понадобятся две леммы. Первая лемма – это теорема Банаха-Штейнгауза из курса функционального анализа, которую мы сформулируем несколько в более общем виде. А именно, анализ ее доказательства показывает, что на самом деле не обязательно требовать, что область определения заданного семейства операторов является банаховым пространством − достаточно, чтобы она была полным метрическим векторным пространством. Сформулируем это утверждение в нужной нам форме.

Лемма 26.2 (теорема Банаха-Штейнгауза). Пусть − семейство линейных непрерывных операторов. Тогда следующие условия эквивалентны:

(*) для каждого ,

(**) семейство операторов равномерно ограничено на некотором шаре с центром в нуле, т.е. для некоторого выполнено .

Доказательство проводится почти дословно также, как это было в курсе функционального анализа – его можно также найти в книге А.А.Кириллова и А.Д.Гвишиани «Теоремы и задачи функционального анализа».

Лемма 26.3. Для каждого компакта пространство является полным линейным метрическим пространством относительно метрики , где .

Доказательство. Обозначим через − множество всех граничных точек компакта в . Тогда справедливо равенство:

.

Рассмотрим фундаментальную последовательность относительно метрики , т.е. выполнено

. (26.1)

Тогда эта последовательность будет фундаментальной и относительно каждой нормы . Пространство является замкнутым подпространством в , поэтому оно полно относительно нормы и из заданной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся по этой норме. Придадим вначале значение 0 и извлечем подпоследовательность , которая сходится по норме . Потом полагаем и из последовательности извлечем подпоследовательность , которая сходится по норме и т.д. Возьмем далее диагональную подпоследовательность . Эта последовательность будет фундаментальной по каждой из норм и, значит, она сходится по ней к некоторой функции . По теореме из математического анализа получаем, что для каждого мультииндекса выполнено

Тут расписать подробнее.

Пример 26.2. Вспомним определение обобщенной функции :

.

Мы доказали в пункте 23.4, что последний предел существует для основной функции . Заметим, что выражение можно рассматривать как действие , где функция является локально интегрируемой функцией, заданной правилом

Следовательно, теорема 26.1 о полноте гарантирует, что функционал является линейным и непрерывным, т.е. обобщенной функцией.

Пример 26.3. В примере 23.5 мы рассматривали выражение , которое определено правилом

.

Функция является локально интегрируемой функцией (знаменатель нигде не обращается в нуль). Мы доказали в примере 23.5, что предел в правой части приведенной формулы существует, следовательно, теорема 26.1 гарантирует, что данный функционал является линейным и непрерывным, т.е. обобщенной функцией.

Пример 26.4. Вспомним пример функций «шапочка» из §19. Они выглядели следующим образом:

Кроме того, . Покажем, что при в пространстве обобщенных функций. Пусть – основная функция. Т.к. она непрерывная в точке , то , где при . В частности, мы можем считать, что при . Таким образом,

,

при .

Следовательно, , ч.т.д.

§25. Действия над обобщенными функциями

1. Линейные комбинации. Если , то

2. Замена переменной. Рассмотрим линейную замену переменных . Здесь , , , .