Свойства свертки обобщенных функций

31.1. Коммутативность: .

Доказательство. Это следует из коммутативности прямого произведения:

.

■

31.2. Линейность по каждому аргументу: .

31.3. - нейтральный элемент (относительно свертки): .

Доказательство.

так как и, начиная с некоторого номера, функция на этом множестве.

■

31.4. .

Доказательство.

.

■

31.5. Дифференцирование: .

Доказательство.

Заметим, далее, что последовательность является исправляющей, ибо это последовательность основных функций, которая на шарах тождественно равна 1. Учитывая это, продолжаем:

.

Ясно, что данное определение можно распространить на производные любого порядка.

31.6. Ассоциативность: вообще говоря, свертка не является ассоциативной

операцией.

Пример 31.3. − нулевой элемент в пространстве обобщенных функций. С другой стороны, . Но в пространстве обобщенных функций.

Теорема 31.4. Предположим, что и , т.е. существует предел:

(31.2)

для любой основной функции и исправляющей последовательности функций . Тогда выполняется равенство:

. (31.3)

Доказательство. По условию теоремы существует предел (31.2) для любой исправляющей последовательности . Возьмем ее в следующем виде: , где и , . Тогда формула (31.2) принимает вид:

.

По предположению этот (двойной) предел существует, значит, должны существовать и повторные пределы, совпадающие с ним:

Следовательно, .

■

Следствие 31.5. Если , и , то справедливо равенство:

.

■

■