Скачок функции в точке

Доказательство.

Замечание 25.11. Данное утверждение легко обобщается на случай, когда функция имеет конечное число точек разрыва 1-го рода или даже счетное их число (если они не имеют точек сгущения и стремятся к бесконечности).

5. Формула Лейбница. Пусть и . Тогда

.

Доказательство.

§24. Носитель обобщенной функции

Хотя обобщенная функция на самом деле функцией не является и для нее нельзя сказать, что она принимает какие-нибудь значения, но тем не менее мы можем указать подмножества в евклидовом пространстве, которые являются существенными для нее.

Определение 24.1. Пусть ─ обобщенная функция. Мы будем говорить, что в области из, если для любой основной функции с носителем, целиком содержащимся в (т.е.supp), выполнено равенство.

Теорема 24.2. Если на каждом из множеств то на .

Доказательство. Обозначим. Пусть ─ основная функция и supp. Так как этот носитель компактен, то и семейство образует его открытое покрытие, то можно извлечь конечное подпокрытие. По теореме 19.5 о разбиении единицы существуют основные функции такие, что

1) supp при ;

2) supp .

Тогда

supp .

Отсюда

,

т.к. носитель каждой функции лежит в области, на которой функционал равен нулю. ■