Случаи существования свертки

1. Пусть одна из функций, например, – финитная функция. Докажем, что свертка

существует и является локально интегрируемой функцией. Имеем

.

Так как – финитная функция, то существует число такое, что

. Тогда

.

Последние интегралы существуют, т.к. функции и являются локально интегрируемыми. Следовательно, свертка – локально интегрируемая функция.

2. Пусть функции и являются функциями одной переменной и обладают свойством: при и при . Докажем, что свертка существует и является локально интегрируемой функцией.

В качестве компакта рассмотрим отрезок :

.

, что доказывает наше утверждение.

Аналогично можно доказать, что существует, если для любых чисел и выполнено:

либо

1. Пусть . Тогда свертка существует и принадлежит пространству

.

Данное утверждение следует из неравенств

.