Общая характеристика математических моделей и методов обоснования решений для технических и производственных систем

Математическое моделирование является в настоящее время основным методом исследования технических, производственных и производственно-экономических систем. Конечной целью моделирования этих систем является подготовка и принятие руководителями соответствующих управленческих решений. С позиций обеспечения сформулированной задачи модели можно различать по следующим признакам: по целям моделирования, по задачам управления, по математическим методам моделирования.

В зависимости от целей моделирования различают модели, предназначенные для: выработки оптимальных решений в различных производственных ситуациях, анализа возможностей предприятия в различных условиях, проектирования технических объектов и систем управления и т.д.

Специфика моделей этой классификационной группы выражается, в первую очередь, в выборе соответствующих критериев эффективности, а также в процедуре реализации результатов моделирования.

В зависимости от задач управления производственными и производственно-экономическими процессами различают модели календарного планирования, управления развитием предприятия, контроля качества продукции и т.д. Эти модели ориентированы на конкретные производственно-экономические задачи и, как правило, должны обеспечивать получение результатов в численном виде.

В зависимости от применяемого математического аппарата модели и соответствующие им методы решения можно разбить на следующие пять больших групп: экстремальные, математического программирования (планирования), вероятностные, статистические, теорико-игровые.

Экстремальные модели – это модели, дающие возможность отыскать экстремум функции. Для исследования моделей такого вида используются методы математического анализа. Можно напомнить, что одна из причин возникновения математического анализа (особенно дифференциального исчисления) была связана с необходимостью решения практических экстремальных задач. Исходя из возможностей этих методов, они применяются, в основном, для решения технических задач регулирования, характеризующихся малым числом анализируемых параметров.

Например, в очень часто встречающемся на практике случае, оптимальный ход процесса может соответствовать максимальному или минимальному (в общем случае экстремальному) значению регулируемой величины. При этом определяется экстремум (максимум или минимум) функции, зависящей от одной или нескольких переменных (параметров процесса).

Примерами таких систем являются:

а) газовая горелка, температура которой при постоянном количестве газа проходит через максимум при изменении количества подаваемого воздуха (рис. 1.7. а);

б) та же горелка, но у которой задана температура; при определенном количестве воздуха расход топлива будет минимальным (рис. 1.7.б).

а) S б) R

t t

Рис. 1.7

Приведенная задача характеризуется, как видно, малым количеством исследуемых параметров.

Обратимся к еще одному примеру, в котором рассмотрим общую постановку задачи разработки плана эффективной работы предприятия. Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, квалифицированная рабочая сила и др. Короче говоря, нужны различные ресурсы. Конечно, каждое предприятие такими ресурсами располагает, но общие запасы ресурсов всегда ограничены. Поэтому возникает очень важным задача – выбор оптимального варианта, обеспечивающего достижения цели с минимальными затратами ресурсов. Однако, как правило, решение этой задачи при планировании работы предприятия не является самоцелью. Результат ее решения учитывается в рамках решения более обобщенной задачи планирования работы предприятия – достижения максимально возможной прибыли. Таким образом, эффективное руководство производством подразумевает такую организацию процесса, при которой не только достигается цель, но и получается экстремальное (минимальное или максимальное) значение некоторого критерия эффективности:

K = f (x₁, x₂,…, x_n) max (min)

Функция К является математическим выражением результата действия, направленного на достижение поставленной цели, поэтому ее и называют целевой функцией.

Функционирование сложной производственной системы определяется некоторым, порой значительным, числом локальных целей и большим числом подлежащих учету исходных параметров. Стандартная схема дифференциального исчисления, используемая для исследования функций на максимум и минимум, применительно к поставленной задаче приводит к выделению некоторого количества планов (минимальной системы возможных вариантов), среди которых содержится искомый оптимальный план (вариант). Далее, согласно классической схеме следует подвергнуть полученную системы планов дополнительному анализу, который сводится к сравнению значений целевой функции для разных вариантов и завершается отысканием искомого решения. Проблема заключается в том, что уже при относительно небольшом количестве искомых переменных n и числе уравнений m (случаи, к которым сводятся сравнительно простые практические задачи) количество вариантов, подлежащих исследованию, исчисляется очень большим числом.

Обратимся для примера к одной из моделей, имеющих достаточно широкое практическое применение – так называемой задаче выбора. Суть проблемы выбора в следующем: задана квадратная таблица с n строками и n столбцами, требуется выбрать по одному элементу в каждой строке и каждом столбце так, чтобы сумма их оказалась максимальной. Непосредственное решение проблемы выбора связано с анализом n! вариантов. Так, например, при n = 20, n! превысит 10¹⁸, а при n = 30, n!>10³¹ вариантов, подлежащих исследованию. Очевидно, что такой путь решения – практически невыполнимая работа. Исходя из этого возникла необходимость в создании таких схем решения, которые позволили бы находить оптимальный план, не перебирая (а следовательно, не производя соответствующих вычислений) все возможные варианты. Подобные схемы составляют содержание методов математического программирования.

Модели математического программирования (планирования) включают модели линейного, нелинейного, динамического программирования, а также сетевого планирования.

Математическое программирование объединяет ряд математических методов, предназначенных для наилучшего распределения имеющихся в наличии ограниченных ресурсов: сырья, топлива, рабочей силы, времени, а также для составления соответствующих наилучших (оптимальных) планов действия.

Линейное программирование применяется в тех случаях, когда условия производства описываются системой линейных уравнений или неравенств. В случае, если указанные уравнения носят нелинейный характер, применяются методы нелинейного программирования.

Динамическое программирование служит для выбора наилучшего плана выполнения многоэтапных действий, в которых результат каждого последующего шага зависит от предыдущих шагов.

Сетевое планирование предназначено для планирования, подготовки и выполнения различных видов производственной деятельности, а также для управления этими мероприятиями в ходе их проведения.

К вероятностным моделям относят модели, построенные с помощью аппарата теории вероятностей, модели случайных процессов марковского типа (марковские цепи), модели теории массового обслуживания и др. Вероятностные модели описывают явления и процессы случайного характера, например связанные со всевозможными несистематическими отклонениями и ошибками (производственный брак и др.), с влиянием стихийных явлений природы, возможными неисправностями оборудования и т.п.

Теория марковских случайных процессов разработана для описания операций, развивающихся случайным образом во времени, таких, например, как отказы технических устройств, передача информации по каналам связи.

Теория массового обслуживания рассматривает массовые повторяющиеся явления, такие, например, как выход из строя и ремонт оборудования.

К статистическим моделям относятся модели последовательного анализа, метода статистических испытаний (Монте-Карло), сюда же относят и методы случайного поиска.

Последовательный анализ дает возможность принимать решения на основе гипотез, каждая из которых сразу же последовательно проверяется, например, при оценке качества партии изделий, при постановке всевозможных экспериментов и т.п.

Метод статистических испытаний заключается в том, что ход той или иной операции проигрывается, как бы копируется с помощью компьютера, со всеми присущими данной операции случайностями, например, при моделировании организационных задач, сложных форм кооперации различных предприятий и т.п. Применение такого метода называют имитационным моделированием.

Методы случайного поиска применяются для нахождения экстремальных значений сложных функций, зависящих от большого числа аргументов. В основе этих методов лежит использование механизма случайного выбора аргументов, по которым осуществляется минимизация. Методы случайного поиска находят применение, например, при моделировании организационных структур управления.

Теоретико-игровые модели предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности, неясности (неполноты информации) обстановки и связанного с этим риска.

К теорико-игровым методам относятся теория статистических решений и теория игр.

Теория игр – это теория конфликтных ситуаций. Она применяется в тех случаях, когда неопределенность обстановки вызывается возможными действиями конфликтующих сторон.

Теоретико-игровые модели могут найти применение при обосновании управленческих решений в условиях производственных, трудовых конфликтов, при выборе правильной линии поведения по отношению к заказчикам, поставщикам, контрагентам и т.п.

Теория статистических решений применяется тогда, когда неопределенность обстановки вызывается объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны (например, некоторые характеристики новых материалов, качества новой техники и т.п.), либо носят случайный характер (состояние погоды, возможное время выхода отдельных узлов изделия из строя и т.п.).

Однако, далеко не для всех исследуемых объектов и систем удается создать приемлемые математические модели и найти алгоритмы, обеспечивающие получение решений возникающих в практике задач. Возможным направлением обоснования решений при анализе подобных объектов является использование экспертных методов и экспертных систем.

Экспертная система представляет собой компьютерную программу, позволяющую автоматизировать достоверные рассуждения человека-эксперта в конкретной предметной области. Основная цель, достигаемая при использовании экспертной системы, состоит в компьютерном тиражировании знаний высококвалифицированных экспертов. Экспертная система включает базу знаний и программные средства общения пользователя с базой знаний, (средства компьютерного мышления). Она представляет собой диалоговую систему, содержание и форма диалога в которой соответствует “беседе” эксперта с пользователем системы, с целью получения экспертных заключений по обсуждаемой проблеме, т.е. выборе решения.