Динамика нормы сбережения

Случай производственной функции Кобба — Дугласа

Проанализируем изменение со временем нормы сбережения в экономике, выпуск которой описывается производственной функцией Кобба—Дугласа В устойчивом состоянии выполняются условия (11.19) и (11.20), откуда

(11.21)

Доля дохода на капитал в такой экономике постоянна и равна . Поэтому из условия можно выразить

С учетом (11.20) и, подставив это выражение в (11.21), получим норму сбережения в устойчивом состоянии

(11.22)

Из условия трансверсальности и (11.20) следует, что в устойчивом состоянии p + , поэтому s* < .

Заметим, что если норма потребления растет, то норма сбережений падает и наоборот, поэтому динамика нормы потребления определяет динамику нормы сбережений. Обозначим норму потребления , тогда темп роста этой нормы равен

(11.23)

Из условия (11.20)

(11.24)

Из условия (11.19) с использованием (11.22)

(11.25)

Подставив (11.24) и (11.25) в (11.23), получим

(11.26)

Динамика нормы потребления зависит, таким образом, от соотношения и .

Рассмотрим три случая.

1. s* = . Тогда:

а) = 0 при ;

б) если для некоторого t , то для любого t ;

в) если для некоторого t , то для любого t .

Случаи ≪б≫ и ≪в≫ противоречат тому, что норма сбережений достигает устойчивого состояния, следовательно, если , то постоянная величина и норма сбережений также постоянна и равна .

2. Тогда z, < для всех t, так как иначе норма сбережений будет неограниченно возрастать. В этом случае для всех t

3. Тогда, по аналогичной причине, для всех t , a

Если продифференцировать (11.26) по времени, то получим выражение

(11.27)

Анализ (11.27) показывает, что если то (так как в противном случае левая часть (11.27) положительна и, следовательно, потребление неограниченно растет, что противоречит условию устойчивости). Поэтому и, следовательно,

Аналогично, если то

Траектории изменения нормы сбережений во всех трех случаях представлены на

рис. 11.4.

Случай 1 хотя и означает, что норма сбережения остается постоянной при переходе к устойчивому состоянию, однако отличается от модели Солоу тем, что является результатом Парето-

Рис. 11.4. Траектории изменения нормы сбережения

оптимального решения и не предполагает поэтому возможности динамической неэффективности.

Случай 2 означает, что эффект дохода выше, чем эффект замены. Из (11.22) видно, что он соответствует условию или . Последнее означает, что эластичность замещения ниже эластичности выпуска по капиталу. Случай 3 описывает ситуацию, когда эффект межвременного замещения выше эффекта дохода. Он иногда соответствует условию ,когда эластичность замещения выше эластичности выпуска по капиталу.