Равновесие при централизованном управлении

Можно сформулировать условие общего экономического равновесия в ситуации централизованного управления. Эта гипотетическая для рыночной экономики постановка, тем не менее, оказывается полезной для формального решения ряда возникающих задач. Если управляющий орган имеет ту же систему предпочтений, которая использовалась в задаче оптимизации поведения потребителя, т. е. ту же форму функции полезности и тот же коэффициент дисконтирования, то можно показать, что решение задачи оптимального управления в этом случае совпадет с децентрализованным равновесием. Формулировка задачи централизованного управления будет выглядеть следующим образом:

.

при условиях: и начальном состоянии к0.

Функция Гамильтона для этой задачи имеет вид

.

Необходимые условия:

(11.16)

(11.17)

Прологарифмировав (11.16) и взяв производную по времени,

Получим

.

откуда с учетом (11.17)

После преобразований это условие принимает вид

(11.18)

Условие (11.18) представляет собой уже рассмотренное выше правило Кейнса—Рамсея. На основании представленного решения можно показать, что оно является предельным аналогом для непрерывного случая известного дискретного правила, утверждающего, что в оптимальном состоянии предельная норма замещения равна предельной норме трансформации. Уравнение (11.18) показывает, что потребление будет расти во времени, оставаться постоянным или убывать в зависимости от

того, будет ли чистый предельный продукт капитала за вычетом темпа роста населения больше, меньше или равен межвременной норме предпочтений. Легко видеть, что из (11.18) можно получить условие (11.13), а условие трансверсальности для описанной задачи приводится к условию (11.14). Таким образом, решение будет таким же, как в децентрализованной задаче. Поскольку при централизованном управлении достигается Парето-оптимальное решение, результат в децентрализованной экономике также оптимален по Парето.