Определение 1

Вопросы по предмету Высшая Математика

1) Понятие числового ряда. Сумма ряда. Сходимость. Необходимый признак, признак Даламбера, предельный признак сравнения, радикальный и интегральный признаки Коши.

2) Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная сходимость Признак Лейбница, Схема исследования знакочередующегося ряда.

3) Степенной ряд, теорема Абеля, Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

4) Ряд Фурье 2п-периодических функций. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье периодических функций с произвольным периодом, непериодических функций, четных, нечетных функций.

5) Частные производные. Дифференцируемость. Полный дифференциал.

6) Производная сложной функции. Полная производная.

7) Дифференциал сложной функции.

8) Производные высших порядков сложной функции.

9) Производная неявной функции.

10) Производная по направлению

11) Градиент скалярной функции.

12) Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

13) Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.

14) Построение двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах, переход к полярным координатам

15) Приложения двойного интеграла.

16) Построение тройного интеграла. Свойства тройного интеграла Сведение к двойному.

17) Построение криволинейного интеграла I рода. Свойства криволинейного интеграла I рода. Вычисление.

18) Построение криволинейного интеграла II рода. Свойства криволинейного интеграла II рода. Вычисление.

19) Интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина

20) Вычисление криволинейного интеграла II рода

21) Приложения криволинейного интеграла II рода.

22) Построение поверхностного интеграла I и II рода поверхностного интеграла в двойному.

23) Векторное и скалярное поле. Градиент. Дивергенция поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса.

24) Поток через замкнутую поверхность Формула Остроградского-Гаусса.

25) Элементы комбинаторики.

26) Классическое определение вероятности события. Теоремы сложения, умножения.

27) Формулы полной вероятности, формула Байеса переоценки гипотез.

28) Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Теоремы Лапласа.

29) Случайные величины (СВ). Закон распределения дискретной СВ. Числовые характеристики СВ. Функция распределения, свойства.

30) Непрерывные СВ. Функция плотности вероятности, функция распределения вероятности, связь между ними, свойства. Числовые характеристики Законы распределения непрерывной СВ (нормальный, равномерный, показательный).

31) Понятие системы двух случайных величин. Закон распределения двумерной СВ. Числовые характеристики двумерной СВ.

32) Наблюдение двумерной СВ. Коэффициент линейной корреляции. Линия регрессии.

33) Статистическая выборка. Числовые оценки параметров распределения. Гистограмма.

34) Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Алгоритм проверки статистических гипотез.

35) Схема проверки гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности по критерию Х-квадрат.

Не сделал вопросы, 4,8, 22 (в лекции есть), и 30,31,32 (Случайные величины, много писать). И так потратил на все вопросы, почти весь день. Нам бы хоть часть выучить=)

Ответы по предмету Высшая Математика

1) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Пусть — числовая последовательность.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности.

Вообще, для обозначения ряда используется символ , поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

· числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;

· числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:

· числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда: .

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае

пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел.

· Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов:

· Предел последовательности

· Предел функции

· Абсолютная сходимость

· Условная сходимость

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда существует такое число что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.

Теорема 1: Признак Даламбера.

Пусть . Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда: и Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство: то из сходимости ряда следует сходимость . Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Доказательство:

Обозначим частные суммы ряда . Из неравенств следует, что Поэтому из ограниченности вытекает ограниченность а из неограниченности следует неограниченность . Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для .

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда , с неотрицательными членами существует такое число d, , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Теорема 1: Радикальный признак Коши.

Пусть и существует предел . Тогда:

1. Если , то ряд сходится.

2. Если , то ряд расходится.

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Теорема 1: Интегральный признак Коши.

Пусть определена на [1; , непрерывна там и является невозрастающей.

Тогда ряд сходится сходится интеграл

Формулировка теоремы:

Пусть для функции f(x) выполняется: 1. (функция принимает неотрицательные значения) 2. (функция монотонно убывает) 3. (соответствие функции ряду)   Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

2) Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная сходимость. Признак Лейбница, Схема исследования знакочередующегося ряда.

Знакоположительные числовые ряды.

Теорема 1: Критерий сходимости знакоположительных рядов.

Ряд сходится последовательность частичных сумм ограничена.

Теорема 2: Первый признак сравнения.

Пусть . Тогда:

1. Если сходится, то сходится.

2. Если расходится, то расходится.

Теорема 3: Второй признак сравнения.

Пусть и - знакоположительные ряды, причём при . Тогда эти два ряда сходятся или расходятся одновременно.

Определение 1. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид:

(или ), где

Ряды, не являющиеся знакопостоянными ( или ) называются знакопеременными.

Например, - знакочередующийся ряд, - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера и оба признака Коши в случае знакопеременных и знакочередующихся рядов не работают!

Определение 2. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится.

Определение 3. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся.

Теорема 4: Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Теорема 5: Признак Лейбница.

Пусть монотонно невозрастает и . Тогда ряд сходится.

Схема исследования знакочередующегося ряда

Вид ряда, его тип	Схема исследования
ФОРМУЛЫ	1! 2! обобщенный гармонический ряд геометрическая прогрессия
II. Числовой знакочередующийся ряд , - действительные числа, .	II.1. Применим необходимый признак: Если ряд сходится, то , при . Если , то ряд расходится. Если , то переходим к следующему пункту. II.2. Применим признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов: Если и , то ряд сходится. II.3. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Ряд сходится абсолютно, если сходится ряд . Ряд сходится условно, если он сходится, а ряд расходится. Для сходимости знакоположительного ряда применяем пункт I.2.

3) Степенной ряд, теорема Абеля, Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Определение 1.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − ), то есть ряд вида

где − действительное число.

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что . Наоборот, если ряд расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что .

Доказательство. Пусть числовой ряд

(1.3)

сходится. Поэтому Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

(1.4)

предполагая, что Так как и при этом то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Так называется интервал, в каждой точке которого степенной ряд с действительными членами сходится, причем абсолютно. На каждом из концов этого интервала ряд может как сходиться (абсолютно или условно), так и расходиться. Вне этого интервала ряд расходится. Заметим, что интервал сходимости существует для каждого сходящегося хоть на каком-нибудь интервале степенного ряда. Для ряда, сходящегося только в одной точке, интервал получается вырожденным. Для расходящегося ряда интервал равен пустому множеству.

Для степенного ряда радиус R (половина длины) интервала сходимости можно вычислить по формуле Коши-Адамара:

причем считают, что если этот верхний предел равен нулю, то ряд сходится на всей числовой оси (радиус сходимости бесконечен), а если предел равен бесконечности, то радиус сходимости равен нулю.

Верхний предел числовой последовательности { } – наибольший из пределов частичных подпоследовательностей, которые можно составить из членов данной последовательности. Он обозначается как

4) Ряд Фурье 2п-периодических функций. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье периодических функций с произвольным периодом, непериодических функций, четных, нечетных функций.

5) Частные производные. Дифференцируемость. Полный дифференциал.

Частные производные. В предыдущих примерах мы использовали производные от f (x,y) по х и по у. Рассмотрим теперь такие производные в более общем плане. Если у нас имеется функция двух переменных, например, F(x,y) = – xy, то мы можем определить в каждой точке две ее «частные производные», одну – дифференцируя функцию по х и фиксируя у, другую – дифференцируя по у и фиксируя х. Первая из этих производных обозначается как fўx(x,y) или f/x; вторая – как fўy(x,y) или f/y. Если f(x,y) = – xy, то f/x = 2x – y и f/y = –x. Заметим, что частные производные от любой функции – это, вообще говоря, новые функции. На практике эти функции в свою очередь дифференцируемы. Частные производные от fўx по х и у принято обозначать, соответственно, и или 2f/x2 и 2f/xy; аналогичные обозначения используются и для частных производных от fўy. Если обе смешанные производные (по х и у, по у и х) непрерывны, то 2f/xy = 2f/yx; в нашем примере 2f/xy = 2f/yx = –1.

Частная производная fўx(x,y) указывает скорость изменения функции f в точке (x,y) в направлении возрастания х, а fўy(x,y) – скорость изменения функции f в направлении

возрастания у. Скорость изменения функции f в точке (х,у) в направлении прямой, составляющей угол q с положительным направлением оси х, называется производной от функции f по направлению; ее величина представляет собой комбинацию двух частных производных от функции f – по х и по у, и равна

Дифференци́руемая фу́нкция в математическом анализе — это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат.