Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

где - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

18) Построение криволинейного интеграла II рода. Свойства криволинейного интеграла II рода. Вычисление.