 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Задача прогнозирования
|
|
Проблемам прогнозирования, предсказания человек всегда уделял повышенное внимание. Мы не будем здесь рассматривать вопросы качественного прогнозирования. В литературе описано достаточно много различных количественных методов экстра- и интерполяции. Подробно и достаточно полно описаны условия их применения. Далее мы рассмотрим один такой метод. Его отличие от других состоит в том, что в тех весьма простых условиях его применимости он обладает максимально возможной точностью прогнозирования.
Метод этот называется именем академика Андрея Николаевича Колмогорова. Сам же автор обозначил его как метод экстраполяции и интерполяции случайных последовательностей [22].
Прогнозируемый случайный процесс x(t) – это стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием (Мх=0), единичной дисперсией (Dx=1) и ненулевой корреляцией rx(t). Это достаточно просто выполняемые условия (за исключением корреляции) – известны из теории вероятностей операции центрирования и нормирования. Если же прогнозу подвергается некоррелированный случайный процесс, то известно, что наиболее точным прогнозом является математическое ожидание.
Как таковое прогнозирование (ниже рассматривается задача экстраполяции) состоит в вычислении прогнозного значения посредством полинома
, (3.10)
где aj – прогнозируемые коэффициенты,
m –длина предыстории.
Для работы с полиномом (3.10) необходимо воспользоваться m предыдущими значениями случайного процесса, которые носят название предыстории.
Теперь необходимо определить способ исчисления коэффициентов aj. Их может быть много, но А.Н. Колмогоровым наилучшим в смысле достижения максимально возможной точности прогнозирования в случае среднеквадратического критерия оценки точности прогнозирования предложен и доказан следующий метод [22].
Коэффициенты aj определяются посредством решения системы линейных уравнений
(3.11)
или в более привычной форме
В силу стационарности процесса x(t) справедливо r(t)=r(-t).
Качество прогнозирования оценивается среднеквадратичным критерием
.
Не вызывает возражений и роль длины предыстории как параметра, управляющего точностью прогнозирования – с увеличением его повышается и точность предсказания.
Решение задачи интерполяции в принципе не отличается от выше изложенной экстраполяции. Разница лишь в том, что в качестве предыстории используются как предыдущие, так и последующие значения.<div align="center"><div align="center">
</div><div align="center"> 3.3. Задача идентификации.
Настоящий класс математических моделей, так же как и оценивание сигналов, обеспечивает решение задач анализа в исследовании систем.
Схема задачи представлена на рис. 3.6.
 |
Исследователю известны статистические описания шумов w(t) и v(t), динамическое соотношение, описывающее измеритель (между x(t), v(t) и z(t)) и зафиксированы наблюдения за управляющим сигналом u(t) и измеренным выходом z(t).
Необходимо определить наилучшую в некотором смысле оценку характеристики объекта (динамическое соотношение между w(t), u(t) и x(t)).
Существующая и достаточно сильно развитая теория идентификации обеспечивает не только успешное решение этого класса прикладных задач, но и дает возможность исследования дополнительных, важных свойств объекта, таких как идентифицируемость, управляемость и т.д.
С точки зрения многих прикладных задач проблема определения соотношения между величинами может быть решена и посредством регрессионного анализа.
Рассмотрим суть этого статистического метода.
Пусть в распоряжении исследователя есть N пар наблюдений (uj, xj), где uj – входной сигнал (в нашем случае - управляющий) и xj – выходной сигнал (выход объекта).
Кстати, отметим, что, зная измеренный выход z(t) и соотношение, описывающее измеритель, мы по этому соотношению можем вычислить выход объекта x(t).
|
Совокупность пар (uj, xj) образует так называемое облако точек (рис. 3.7). Визуальный анализ этого облака точек, или, что предпочтительнее, исходя из физического смысла объекта исследования, можно предположить, что наилучшим описанием зависимости между uj (независимая переменная) и xj (зависимая переменная) будет некоторая функция x=f(u). Под наилучшим описанием может пониматься, например, минимум среднеквадратичной погрешности.
Если функция f – линейная, то мы имеем дело с линейным регрессионным анализом, в противном случае – с нелинейным.
Пусть кривая регрессии представляет собой полином порядка n
.
Для того, чтобы найти коэффициенты регрессии воспользуемся так называемой системой нормальных уравнений, техника составлений которых весьма проста:
Решая эту систему линейных уравнений, мы найдем регрессионные коэффициенты aj, j=0,1,...,n.
В случае линейной регрессии x=a×u+b коэффициент регрессии имеет вид
,
а свободный член
,
где 
- оценки средних зависимой и независимой переменных,
Sx, Su – среднеквадратические отклонения зависимой и независимой переменных,
- оценка коэффициента корреляции между зависимой и независимой переменными.
Мы рассмотрели достаточно универсальный метод решения задачи регрессионного анализа – системы нормальных уравнений. Он положен в основу большинства соответствующих программных средств. При этом следует отметить, что эти средства предоставляют пользователю не только числовые значения регрессионных коэффициентов, но и большой объем дополнительной информации – доверительные границы, уровни значимости, при которых принимаются гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и т. д.
Ясно, что практические задачи могут быть таковы, что уравнение регрессии не имеет вид полинома. В этом случае может быть использован прием линеаризации. Суть его состоит в сведении нелинейной регрессионной зависимости к линейной, нахождении для нее коэффициентов регрессии и реализации обратного перехода.
Пусть, для примера, из физических представлений об объекте исследователь считает, что облако точек достаточно точно должно описываться показательной зависимостью
x = a × e-bu.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 213 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
