Корреляцийний связь между двумя случайными величинами

Корреляционная связь между двумя случайными величинами - это такая зависимость, когда с изменением одной величины меняется условное математическое ожидание другой случайной величины.

- функция регрессии В на Х.

- функция регрессии Х на У.

Оценкам функций регрессии является уравнение регрессии.

-уравнения регрессии

Чаще всего корреляционная зависимость определяют после нескольких этапов исследования и результатом является получение уравнения регрессии. Оно является моделью процесса взаимной связи между 2 случайными величинами.

Корреляцийна зависимость является частным случаем стохастической зависимости.

Теснота и форма корреляционной зависимости.

Для оценки функции регрессии нужно знать аналитический вид двумерного распределения (Х, У). Только зная вид этого закона распределения, можно точно определить форму функции регрессии и ее параметры.

Для характеристики формы связи при изучении корреляцийнои зависимости используют понятие линии регрессии.

Линией регрессии В по X (или В на X) называют условное среднее значение случайной переменной В. которая рассматривается как функция от X, т.е.

Условное среднее значение случайной величины X, т.е. рассматривается как функция y, называется линией регрессии X по Y.

Линия регрессии У(Х) минимизирует среднюю квадратичную погрешность прогноза величин У по Х.

Кривая регрессии является оценкой функции регрессии, и, таким образом, средняя ошибка прогноза по уравнению регрессии минимальна.

Тесноту и форму корреляционной зависимости можно определить, как качественно так и количественно. Для термина теснота используют:

- связь является слабым (отсутствовать);

- высоким.

В форму применяют:

- линейная (прямая или обратная);

- нелинейная (параболическая, кубическая, экспоненциальная, показателю).

Качественно тесноту и форму корреляционной связи можно оценить по корреляционной графике (корреляционное поле).

Если систему точек (х_і; у_і) обозначить на плоскости ХОУ то мы получим совокупность точек, которая и называется корреляционным графику.

Если с увеличением X случайная величина в растет, то мы имеем прямую связь между ними. В противном случае корреляцийний связь является обратным.

Точки на корреляцийному графике могут основываться около некоторой средней прямой линии. В таком случае корреляцийний связь является линейным и функция регрессии имеет вид уравнения прямой:

Коэффициенты а и b являются оценками параметров а и β генерального уравнения регрессии

Кроме линейной встречаются нелинейные корреляцийни связи, которые отражаются соответствующими уравнениями регрессии. Среди них для гидрометеорологических случайных величин часто реализуются:

- параболическое уравнение регрессии:

- кубическое уравнение:

- показательных уравнения регрессии:

- частные случаи которого и экспоненциальное уравнение регрессии:

- гиперболическое уравнение регрессии:

По разбросу точек на корреляцийному графику можно сделать предварительный вывод о тесноте корреляцийного связи. Конечно, он более тесным, когда точки теснее группируются вокруг линии регрессии, и наоборот.

Коэффициент корреляции, как мера тесноты линейной корреляционной связи.

Коэффициент корреляции оценивает связь между двумя параметрами.

,

Коэффициент корреляции изменяется в определенных пределах: -1 ≤ r_xy ≤ 1

Чем ближе по модулю к 1 является r_xy тем теснее линейная корреляционная зависимость.

- слабый линейный корреляционная связь.

- знак показывает, что связь обратная.

- прямая линейная корреляционная зависимость.

Построение линейного уравнения регрессии проводится только в том случае грыжи коэффициент корреляции на заданном уровне будет статистически значимым.

Метод наименьших квадратов

Уравнения регрессии, представляют собой не что иное, как модели процесса взаимосвязи между случайными величинами У и Х. Конечно, модель должна быть адекватной процесса моделируемой.

Могут быть различные степени адекватности модели процесса, исследуется. Поэтому при моделировании нужно определить количественную меру адекватности. Такое количественную меру называют критерием качества или функцией цели.

Критерий качества выбирают в зависимости от характера задачи, которая ставится. При построении статистических моделей наиболее часто используют такой критерий:

где - ординаты точек корреляцинного поля. - ординаты точек на линии регрессии при значении независимой переменной Хі. Смысл критерия состоит в том, что для описания взаимосвязи между случайными величинами выбирают такие параметры уравнения регрессии , которые дают минимум суммы квадратов разностей между ординатами экспериментальных точек и точек линии регрессии при соответствующих значениях переменной x. Поэтому метод, основой которого является критерий качества, носит название метода наименьших квадратов.

Оценка параметров линейного уравнения регрессии

Как известно, линейное уравнение регрессии имеет вид:

где a i b - коэффициенты регрессии, которые надо определить на основе выборок случайных величин Х и У. Для этого используем метод наименьших квадратов.

Для получения системы нормальных уравнений приравняем к нулю частные производные по aib от критерия :

23. Які види гідрометеорологічної інформації використовуються для оперативного гідрометеорологічного обслуговування народного господарства.

В современных условиях быстро развивается техника, совершенствуется структура всех отраслей производства и вместе с этим растут запросы к службе прогнозов.

Чтобы успешно внедрять метеорологические данные в произ­водство, необходимо знать основные характеристики этого про­изводства и его специфику. Это позволяет правильно оценить необходимую потребителю метеорологическую информацию: ее объем, точность, критические границы, частоту передачи, форму ее представления и другие параметры.

Вопросы оценки экономической эффективности метеорологи­ческой информации решаются пока раздельно в зависимости от вида информации и конкретного потребителя. Единой методики пока нет. Это вносит определенную трудность в изучение этих вопросов, так как требует знания специфики потребителя.

Практически нет такой отрасли народною хозяйства, кото­рая прямо или косвенно, постоянно или временно не испытивала бы влияния метеорологических условий. Степень такого влияния различна. Все зависит от уровня организации производства, конкретною объекта, который подвергается влиянию погоды, и мер, доступных потребителю, чтобы противодействовать небла­гоприятным и опасным условиям погоды.