Гамма - распределение

Гамма - распределением называется распределение, плотность вероятности для которого определяется формулой:

где λ-параметр формы, α - параметр масштаба.

Гамма распределение может иметь другую форму, если применить преобразование: u = αx

Запишем плотность вероятности через производную от функции распределения и разделим обе части равенства на α. С учетом преобразования будем иметь:

=

Рассмотрим свойства гамма-распределения.

Кривая распределения начинается в точке u = 0. При u -> ∞, f (u) -> 0. Таким образом, плотность вероятности гамма-распределения существует в области [0, ∞).

Найдем производную функции:

Точку экстремума получаем, приравнивая производную к нулю. Она определяется

u = λ-1

Экстремум функция может иметь только в случае, когда λ> 1.

Вторая производная функции равна

Можно легко показать, что в точке экстремума квадратный трехчлен равен -1. Но именно он определяет знак второй производной в этой точке. Таким образом, и в этой точке экстремума мы максимум функции. Применительно к плотности вероятности это означает, что точка u = λ-1 является модальным значением случайной величины u.

Кроме того, видно, что кривая распределения имеет моду только в случае, когда λ> 1.

Кривая распределения имеет только одну точку перегиба справа от начала координат (1 <λ ≤ 2).

Частном случаем гамма - распределения есть экспоненциальное распределение, при λ = 1. Поскольку Г (1) = 1, уравнение принимает вид: f(u)=e^-u.

Начальные моменты гамма - распределения равны:

,

Поэтому математическое ожидание случайной величины u и ее дисперсия равны:

Таким же образом, можно показать, что

Это позволяет легко определить третий и четвертый основные моменты случайной величины u:

Очевидно коэффициент эксцесса определяется по формуле:

Итак, меры косости и крутизны (асимметрия и эксцесс) зависят только от параметра формы λ гамма - распределения. Поскольку λ> 0, то кривая распределения имеет правостороннюю асимметрию и большую крутизну, чем кривая нормального распределения.

На основе полученных равенств для моментов распределения, а также равенства u = αx, можно легко определить формулы статистических оценок параметров гамма - распределения. Оценкой параметра формы является - оценка дисперсии случайной величины u.

Теоретические частоты для гамма - распределения можно найти с помощью

Интервальную вероятность можно найти, применяя соответствующее свойство плотности вероятности: