Распределение Пуассона. Во многих случаях, когда имеют дело с событиями, которые редко происходят, рассматриваются дискретные случайные величины

Во многих случаях, когда имеют дело с событиями, которые редко происходят, рассматриваются дискретные случайные величины, подчиняющиеся распределению Пуассона. В метеорологической практике такими величинами являются число дней с грозой, метелью, гололедом и т.д. Пусть дискретная случайная величина X может принять значение из множества целых чисел (0,1,2,...). Тогда, если вероятность того, что X = m, определяется формулой

то говорят, шо такая случайная величина имеет распределение Пуассона. В нем λ> 0 - параметр распределения Пуассона.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины χ.

Как известно, для бесконечного ряда

Постоянная величина λ является математическим ожиданием случайной величины, имеющей распределение Пуассона. Это означает, что распределение Пуассона однозначно определяется математическим ожиданием случайной величины.

Для определения дисперсии используем известное соотношение

Найдем сначала второй начальный момент

Поскольку

Итак, дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию.

Третий и четвертый центральные моменты распределения Пуассона:

Коэффициенты асимметрии и эксцесса имеют вид: