Математическая суть отмеченной выше проблемы связана со следующим фактом: многие дробные рациональные десятичные числа в других системах счисления оказываются иррациональными

Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах: 1) двоичная нумерация, 2) двоичная арифметика, т.е. выполнение арифметических вычислений над двоичными числами. С двоичной нумерацией ученики встретятся в теме «Представление текста в компьютерной памяти». Рассказывая о таблице кодировки ASCII, учитель должен сообщить ученикам, что внутренний двоичный код символа – это его порядковый номер в двоичной системе счисления.

Практическая потребность знакомства с двоичной арифметикой возникает при изучении работы процессора (см. например [21], глава 11). В этой теме рассказывается,, как процессор ЭВМ выполняет арифметические вычисления. Согласно принципу Дж.фон Неймана, компьютер производит вычисления в двоичной системе счисления. В рамках базового курса достаточно ограничиться рассмотрением вычислений с целыми двоичными числами.

Для выполнения вычислений с многозначными числами необходимо знать правила сложения и правила умножения однозначных чисел. Вот эти правила:

0 + 0 = 0 0 ´ 0 = 0

1 + 0 = 1 1 ´ 0 = 0

1 + 1 = 10 1 ´ 1 = 1

Принцип перестановочности сложения и умножения работает во всех системах счисления. Далее следует сообщить, что приемы выполнения вычислений с многозначными числами в двоичной системе аналогичны десятичной. Иначе говоря, процедуры сложения, вычитания и умножения «столбиком» и деления «уголком» в двоичной системе производятся так же, как и в десятичной.

Рассмотрим правила вычитания и деления двоичных чисел. Операция вычитания является обратной по отношению к сложению. Из приведенной выше таблицы сложения следуют правила вычитания:

0 – 0 = 0; 1 – 0 = 1; 10 – 1 = 1.

А вот пример вычитания многозначных чисел:

-100110111

Полученный результат можно проверить сложением разности с вычитаемым. Должно получиться уменьшаемое число.

Деление – операция обратная умножению. В любой системе счисления делить на 0 нельзя. Результат деления на 1 равен делимому. Деление двоичного числа на 10₂ ведет к перемещению запятой на один разряд влево, подобно десятичному делению на десять. Например:

10010: 10 = 1001; 1011:10 = 101,1; 101100: 10 = 10110

Деление на 100 смещает запятую на 2 разряда влево и т.д. В базовом курсе можно не рассматривать сложные примеры деления многозначных двоичных чисел. Хотя, способные ученики могут справиться и с ними, поняв общие принципы.

Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Имеется в виду запись такой информации на бумаге или вывод ее на экран. Для этих целей принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. В современных ПК чаще всего используется шестнадцатеричная система.

Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлением числа. При переводе числа из одной системы в другую, одной шестнадцатеричной цифре соответствует четырехразрядный двоичный код. Это соответствие отражено в двоично-шестнадцатеричной таблице:

Двоично-шестнадцатеричная таблица

		A
		B
		C
		D
		E
		F

Такая связь основана на том, что 16 = 2⁴, и число различных 4-х разрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из «16» в «2» и обратно производится путем формальной перекодировки. Принято считать, что если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то это равносильно наличию двоичного представления. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного. Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу. Тогда действительно для них шестнадцатеричное представление станет эквивалентным двоичному.

В шестнадцатеричном виде записываются адреса оперативной памяти компьютера. Например, для учебного компьютера «Нейман» [21] диапазон адресации байтов памяти от 00 до FF. Значит в десятичной системе – от 0 до 255. Рассматривая структуру памяти компьютера, принципы адресации байтов памяти, можно обсудить с учениками следующий вопрос: как связан диапазон адресов с разрядностью адреса. В учебном компьютере «Нейман» адреса памяти представляются 8-разрядными двоичными числами (2-х разрядными шестнадцатеричными). Поэтому число различных адресов равно 2⁸, а диапазон значений - от 0 до 2⁸–1=255 (FF₁₆). Если адрес 16-разрядный, что часто имеет место для реальных ЭВМ, то размер адресуемой памяти равен 2¹⁶ байт = 2⁶ Кбайт = 64 Кбайт. Диапазон шестнадцатеричных адресов в таком случае: 0000 до FFFF.

В современных компьютерах существуют приемы, позволяющие адресовать гораздо большие размеры памяти без увеличения разрядности адреса. Для этого используется многоуровневая структура организации памяти. Данный вопрос выходит за рамки содержания базового курса. Однако тема «Адресация памяти в современных ЭВМ» может быть предметом реферативной работы учащихся. Материал можно найти в специальной литературе, посвященной архитектуре современных ЭВМ.

Примеры решения задач

Ниже рассмотрены решения некоторых задач, взятых из пособия «Задачник-практикум по информатике» [9], раздел 1.5.

Пример 1. Перевести в десятичную системе числа: 221₃, E41A,12₁₆

Решение:

221₃ = (2´3 +2)´3 + 1 = 25₁₀

E41A,12₁₆ = ((14´16+4)´16+1)´16+10 + (2/16+1)/16 = 58394 + 0,0703125 = = 58394,0703125₁₀

Обратите внимание на то, что дробная часть числа переводится отдельно и на то, как применение схемы Горнера модифицируется для дробной части: умножение заменяется на деление, а значащие цифры подставляются в обратном порядке – справа налево.

Пример 2. Перевести шестнадцатеричные числа в восьмеричную систему.

Решение. Конечно, такой перевод можно производить и через десятичную систему по схеме 16 Þ 10 Þ 8. Но это долго и неудобно. Лучше выполнять такой перевод по схеме 16Þ 2Þ 8. В этом случае ничего не требуется вычислять, все сводится к формальной перекодировке. На втором шаге следует сгруппировать двоичные цифры тройками. 774₁₆ = 0111 0111 0100₂ Þ 011 101 110 100 = 3564₈

F12,0457₁₆ =1111 0001 0010,0000 0100 0101 0111₂ Þ

Þ111 100 010 010, 000 001 000 101 011 100 = 7422,010534₈

Пример 3. Найти основание р системы счисления и цифру n, если верно равенство: 33m5n + 2n443 = 55424. Пример выполнен в системе счисления с основание р, m – максимальная цифра в этой системе.

Решение.

Запишем столбиком данное сложение:

33m5n

+ 2n443

Очевидно, основание системы p>6, т.к. присутствует цифра 5. Сложение в младшем разряде дает: n + 3 = 4. Отсюда n=1. Сложение во втором разряде слева дает:

5 + 4 = 12_p = (1´p + 2)₁₀ = 9₁₀.

Отсюда следует, что р = 9 – 2 = 7. Наибольшая цифра в семеричной системе – 6. Значит m=6. Если теперь подставить в данное выражение вместо букв соответствующие им цифры: n=1, m=6 и выполнить сложение в семеричной системе счисления, то получится сумма, данная в условии задачи.

Пример 4. В какой системе счисления выполнено следующее сложение?

24

Решение. Решение этой задачи рекомендуется искать методом гипотез. Очевидно, что основание системы p>8. Можно предположить, что оно меньше 10, поскольку нет буквенных цифр, а правилам десятичной арифметики данный пример не удовлетворяет. Примем гипотезу о том, что р равно 8 или 9. Выполним сложение младших разрядов в десятичной системе:

6 + 7 + 6 + 4 = 23₁₀ = Х7_р

В системе с основание р это двузначное число с младшей цифрой 7 и неизвестной первой цифрой слева. Переведем число 23₁₀ в восьмеричную и девятеричную системы. Получим:

23₁₀ = 27₈ = 25₉

Очевидно, подходит вариант р=8. Проверяя выполнение сложения других разрядов в восьмеричной системе, убеждаемся, что предположение сделано правильное. Ответ: р=8.