Тренд-сезонные модели

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, часто повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми.

Если процесс подвержен периодическим колебаниям, имеющим определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, то мы имеем дело с так называемым тренд-сезонным временным рядом. А математическая модель такого ряда носит название тренд-сезонной.

Тренд-сезонная модель временного ряда содержит три компоненты - трендовую u_t, сезонную s_t и случайную e_t. При этом данная модель чаще всего представлена либо в аддитивной форме:

,

либо в мультипликативной форме:

.

Ключевой операцией в анализе тренд-сезонной модели является выделение сезонной компоненты. Эта операция может быть произведена различными способами.

Исходная статистическая база состоит из помесячных или поквартальных данных некоторого показателя за ряд лет. Как правило, эти данные представлены в виде таблицы, например, следующего вида:

Месяц	Год
		…	k
январь			…
февраль			…
…	…	…	…	…
декабрь

Здесь определяет значение показателя, относящееся к i -му месяцу j -го года. Первый год, к которому относятся наблюдения, обозначен единицей. Для корректного анализа сезонности требуется, чтобы общее число лет k было не менее трех. Таким образом, задан временной ряд, состоящий из 12× k уровней (для поквартальных данных из 4× k уровней).

Предположим вначале, что в исходном временном ряде отсутствует тенденция, т.е. он является стационарным. В этом случае сезонные колебания могут быть выявлены с помощью следующих операций:

а) определяем средний уровень показателя за каждый месяц;

; i =1,2,…,12;

б) определяем общую среднюю за весь период наблюдения:

или ;

в) находим абсолютные отклонения среднемесячных показателей от общей средней:

(i =1,2,…,12),

которые можно толковать как элементы аддитивной сезонной составляющей;

одновременно или альтернативно можно найти так называемые индексы сезонности:

%,

которые в совокупности играют роль мультипликативной сезонной составляющей.

В результате проделанных операций во временном ряде будет выявлена сезонная волна.

Выделение сезонной компоненты в общем случае может быть проведено различными способами [2,7,9,15]. Рассмотрим один из них - метод скользящих средних. Для определенности предположим, что исходные данные распределены помесячно. При построении аддитивной тренд-сезонной модели последовательно выполняем ниже следующие действия.

а) запишем исходные данные в виде единого временного ряда:

у ₁, у ₂,…, у _{12 ×k};

б) сгладим уровни временного ряда простой скользящей средней с интервалом сглаживания m =12 по формуле

;

в) рассчитаем отклонения фактических значений от уровней сглаженного ряда:

;

г) определим предварительные значения сезонной составляющей как средние арифметические из уровней для одноименных месяцев;

д) корректировка первоначальных значений сезонной составляющей с целью соблюдения условия равенства нулю суммы значений сезонной составляющей для полного сезонного цикла:

(i =1,2,…,12),

где .

Выделение сезонной компоненты для мультипликативной модели происходит практически по той же методике, что и для аддитивного случая. Отличие состоит лишь в том, что на шаге в) в качестве отклонений фактических значений от уровней сглаженного ряда берутся не разности, а частные соответствующих величин:

,

а также в проведении корректировки первоначальных значений сезонной составляющей на шаге д):

(i =1,2,…,12).

Последняя операция исходит из того, что средняя арифметическая значений сезонной компоненты по одному циклу должна быть равной единице.

После выделения сезонной компоненты производится десезонализация исходных данных. В случае аддитивной модели для этого из уровней исходного временного ряда вычитаются соответствующие значения сезонной компоненты:

,

в случае мультипликативной модели уровни исходного ряда делятся на значения сезонной компоненты:

,

где , t =1, 2, …, 12 k.

Далее на основе полученного временного ряда осуществляется выбор и параметризация трендовой компоненты u_t (см. параграф 3.4). После чего проверяется качество построенной модели.

Таким образом, были последовательно выделены сезонная и трендовая компоненты, в совокупности образующие регулярную составляющую временного ряда:

(3.25)

(для аддитивной модели),

(3.26)

(для мультипликативной модели).

Формулы (3.25) и (3.26) непосредственно используются для прогнозирования.

Пример 3.3. На основе квартальных данных об объемах продаж продукции фирмы за пять лет была построена мультипликативная тренд-сезонная модель. Оценки значений сезонной компоненты представлены в таблице.

Квартал
s ( i )	?	1,11	1,23	0,74

Требуется: а) определить значение сезонной компоненты для первого квартала; б) рассчитать прогнозную оценку уровня продаж в первом полугодии следующего года, если уравнение тренда имеет вид (t =1, 2, …, 20).

Решение.

а) Так как сезонность в модели носит мультипликативный характер, то значения сезонной компоненты удовлетворяют условию:

Поэтому имеем Отсюда

б) Спрогнозируем уровни временного ряда при t =21 и t =22 (соответственно первому и второму кварталу шестого года), используя формулу: . Получим:

, .

Это и будут прогнозируемые уровни продаж.

Замечание 3.4. Анализ и прогнозирование временных рядов на основе трендовых или тренд-сезонных моделей во многих случаях оказывается малопродуктивным. Это справедливо, в первую очередь, для рядов, демонстрирующих значительные нерегулярные колебания. В качестве конкретных примеров можно привести динамику мировых цен на различное сырье или динамику курса американского доллара.

В таких случаях значения случайной компоненты e_t, относящиеся к разным уровням, не могут рассматриваться как независимые друг от друга и, следовательно, не удовлетворяют условиям «белого шума». Моделирование и прогнозирование таких временных рядов производится более сложными методами. К сожалению, объем курса не позволяет подробно рассмотреть эти методы. Желающим самостоятельно овладеть этими методами моделирования и прогнозирования можно порекомендовать [1,2,3,7,9,12].