Экспоненциальная скользящая средняя

Экспоненциальная скользящая средняя представляет собой еще один метод сглаживания временного ряда, отличающийся от предыдущих тем, что при нахождении сглаженного уровня используются значения всех предшествующих уровней ряда от его начала до текущего момента. Эти значения берутся с определенным весом, уменьшающимся по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Экспоненциальное сглаживание осуществляется по рекуррентной формуле:

, (3.6)

где a - параметр сглаживания (0< a <1).

Многократно используя формулу (3.6), можно получить явное выражение экспоненциальной средней через уровни ряда:

,

где у ₀ - величина, характеризующая начальные условия. Таким образом, экспоненциальная средняя имеет экспоненциально распределенные веса с дисконтирующим коэффициентом (1- a).

В практических задачах обработки рядов экономических показателей часто рекомендуется (см., например, [12, 14]) выбирать величину параметра a в интервале от 0,1 до 0,3. Однако это, по-видимому, справедливо лишь в случае временных рядов, близких к стационарным. В других случаях выбор параметра сглаживания строго индивидуален.

Что касается начального параметра у ₀, то в конкретных задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у ₁, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.

Отметим еще одну важную особенность экспоненциальной скользящей средней: при этом методе сглаживания не теряются ни начальные, ни конечные уровни исходного временного ряда.

Пример 3.1.

По данным об урожайности за 16 лет (табл. 3.2) рассчитайте:

Таблица 3.2.

Урожайность пшеницы, ц/га

Текущий номер года, t	1	2	3	4	5	6	7	8
Урожайность, yt	10,3	14,3	7,7	15,8	14,4	16,7	15,3	20,2
Текущий номер года, t	9	10	11	12	13	14	15	16
Урожайность, yt	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

а) простые скользящие средние с интервалами сглаживания m ₁=3 и m ₂=7;

б) взвешенную скользящую среднюю с интервалом сглаживания m =5;

в) экспоненциальную скользящую среднюю с параметром a =0,3.

Решение. Результаты расчетов представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3.