Корреляционно-регрессионный анализ

На практике часто бывает важно знать, существует ли зависимость между некоторыми наблюдаемыми величинами, насколько тесно они связаны между собой, можно ли по значению одной величины сделать какие-либо выводы о предполагаемом значении другой величины и т.д. Для решения задач такого рода и применяется корреляционно-регрессионный анализ.

Пусть - выборка из двумерной генеральной совокупности . Предварительное представление о зависимости между случайными величинами и можно получить изобразив в прямоугольной системе координат на плоскости точки . Такое графическое представление двумерной выборки называют диаграммой рассеивания (корреляционным полем).

Количественной характеристикой степени линейной зависимости между величинами и является коэффициент корреляции . Состоятельной оценкой коэффициента корреляции служит статистика , где , , , , .

Если , то все выборочные точки , лежат на одной прямой. При выборочные данные только имеют тенденцию сосредотачиваться около прямых:

, ,

называемых (теоретическими) прямыми регрессии на и на , соответственно. Здесь , . Первое уравнение даёт наилучший в среднем квадратичном прогноз ожидаемых значений по наблюдениям , второе – прогноз значений по наблюдениям .

Прямые , называются эмпирическими прямыми регрессии на и на , соответственно. Здесь , , , , - найденные по выборке , , значения статистик , , , , , являющихся состоятельными оценками параметров , , , , двумерной генеральной совокупности. Если выборка представлена корреляционной таблицей , , , , где , - или отдельные различные выборочные значения и или середины интервалов группировки выборочных значений и , - частота с которой в выборке встречается пара , то значения статистик вычисляются по формулам:

, , , ,

, ,

В задачах 13.80-13.81 для указанных выборок вычислить коэффициенты корреляции и построить диаграммы рассеивания.

13.80 13.81

В задачах 13.82-13.83 для указанных выборок вычислить коэффициенты корреляции, определить и нанести на диаграмму рассеивания прямые регрессии и .

13.82

13.83

, , , ,

В задачах 13.84-13.85 вычислить коэффициент корреляции и найти уравнения прямых регрессии и по данным в следующих корреляционных таблицах:

13.84

13.85

В случае выбора из двумерной нормально распределённой генеральной совокупности равенство влечёт независимость случайных величин и . Проверка параметрической гипотезы основана на статистике , которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.