 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Преобразование условия выпуклости
|
|
Определение выпуклости имело вид
.
Пусть 
. Обозначим 
. Так как 
, то 
. Далее имеем
, 
, 
.
(Обратите внимание на то, что выражения для l и 
выгоднее сразу писать так, чтобы и в числителе и в знаменателе стояли положительные величины). Условие выпуклости примет вид
.
Так как 
, то имеем
,
,
.
Так как 
и 
то, деля обе части этого неравенства на 
, получим
(*)
при . Именно это неравенство мы и будем использовать в качестве условия выпуклости.
2. Необходимость .
Пусть 
выпукла. Сделаем в условии (*) сначала предельный переход 
, а затем 
:
| Предельный переход
| Предельный переход
|
 ,
 .
|  ,
 .
|
Сравнивая два последних неравенства мы получим, что 
, а так как у нас в самом начале было , то это и означает, что 
монотонно возрастает.
3. Достаточность. Пусть монотонно возрастает. Тогда, по формуле Лагранжа
,
.
Так как получилось, что 
, то 
и, следовательно,
,
что и говорит о том, что - выпуклая функция.
Следствие. Пусть 
. Тогда для того, чтобы была выпуклой необходимо и достаточно, чтобы 
.
Доказательство
1. выпукла Þ 
Þ 
;
2. 
Þ Þ выпукла.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 225 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
