Собственные значения симметрической матрицы

□ Лемма. Если матрица

необратима, то либо , либо собственное значение матрицы т. е. матрица имеет собственное значение.

Доказательство. Дано, что матрица

–

необратима. Так как произведение обратимых матриц обратимо, то из необратимости матрицы вытекает, что хотя бы одна из матриц – необратимая матрица.

Если необратима матрица , то . Отсюда следует, что число – собственное значение матрицы . Если же необратима матрица , то, соответственно, и число – собственное значение матрицы А. Итак, одно из чисел , либо является собственным значением матрицы .

□ Теорема 3.20. Каждая симметрическая матрица имеет собственное значение.

Доказательство. Из леммы вытекает, что для доказательства теоремы достаточно установить необратимость матрицы . Для этого, ввиду теоремы 3.13, достаточно показать, что на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ.

Рассмотрим скалярный квадрат вектора

Сначала заметим, что из леммы о норме линейного преобразования следует

(16)
Далее, матрица – симметрическая. Используя теорему о симметрической матрице, получаем

(17)

Используя соотношения (16), (17) и получаем

.

Так как на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ, то величина . Теперь окончательно получаем .

Поскольку – константа, а величину за счет выбора нормированного вектора можно сделать сколь угодно малой, то на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ. ■