Норма линейного преобразования

Линейное преобразование называется ограниченным сверху, если можно подобрать такое число , что для каждого нормированного вектора из пространства Rⁿ выполняется неравенство

□ Теорема 3.12. Каждое линейное преобразование пространства ограничено сверху.

Доказательство. Пусть − произвольный нормирован-ный вектор из пространства Rⁿ. Тогда квадрат длины этого вектора

.

Отсюда вытекает

1,…, 1 + … + .

Теперь полагаем , где

,

и докажем, что Действительно,

■

Из доказанной теоремы следует, что множество

ограничено сверху. Следовательно, это множество имеет точную верхнюю грань, обозначаемую символом . Будем называть ее нормой линейного преобразования , а также называть нормой матрицы . Итак,

= Sup{ }

на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ.

□ Лемма. Для каждого вектора из пространства Rⁿ справедливо неравенство

Доказательство. Если вектор = , то вектор . Отсюда и , значит утверждение теоремы справедливо.

Если же вектор , то отсюда и из определения нормы линейного преобразования следует‌‌

■

□ Теорема 3.13. Линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда

{‌ }

на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ.

Необходимость. Сначала установим, что норма каждой обратимой матрицы больше нуля. Действительно, если длина вектора равна единице, т. е. = 1, то и из обратимости матрицы следует и, значит, Теперь, из определения нормы линейного преобразования имеем или

По условию матрица обратима, а поэтому обратима матрица . Из доказанного выше утверждения следует > 0. Наконец, если – произвольный вектор длины единицы, то, используя лемму, имеем

Отсюда

{ }

Достаточность. Дано { } . Для доказательства обратимости преобразования достаточно установить, что = (теорема 3.6). Предположим противное, т. е. пусть . Это означает, что в подпространстве найдется ненулевой вектор и . Теперь рассмотрим следующую цепочку равенств:

, = = = .

Итак, нашелся такой нормированный вектор , что = 0. Отсюда вытекает, что

{ } = 0 (13)

на множестве нормированных векторов ε пространства Rⁿ. Равенство (13) противоречит условию достаточности теоремы. ■

Задачи

1. Доказать, что на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ.

2. Найти норму линейного преобразования .

3. Доказать, что норма линейного преобразования равна наибольшему из чисел , ,…, , где

.

4. Доказать, что норма ненулевой матрицы больше нуля.

5. Доказать, что для любых квадратных матриц и справедливы неравенства:

а) ;

б) .