Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Линейное преобразование называется ортогональным, если для каждой пары векторов из пространства Rn выполняется равенство
Следующая теорема иногда облегчает доказательство ортогональности линейного преобразования.
□ Теорема 3.14. Линейное преобразование будет ортогональным тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1) , т. е. преобразование не изменяет длины векторов;
2) , т. е. преобразование не изменяет углы между векторами.
Необходимость вытекает из следующих равенств:
Достаточность. Ортогональность преобразования следует из следующей цепочки равенств:
. ■
В следующей теореме, характеризующей ортогональные преобразования, содержится, в частности, критерий, которому должны удовлетворять матрицы ортогональных преобразований.
□ Теорема 3.15. Рассмотрим линейное преобразование . Тогда следующие условия равносильны:
1) линейное преобразование ортогонально;
2) линейное преобразование переводит ортонормированный базис пространств Rn в ортонормированный базис, т. е. если ,…, – ортонормированный базис, то – ортонормированный базис пространства Rn;
3) столбцы матрицы образуют ортонормированную систему векторов.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 149 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!