Примеры решения задач. Линейно - поляризованный световой пучок падает на поляризатор, плоскость пропускания которого вращается вокруг оси пучка с угловой скоростью w

Задача1. Закон Малюса.

Линейно - поляризованный световой пучок падает на поляризатор, плоскость пропускания которого вращается вокруг оси пучка с угловой скоростью w. Найти световую энергию W, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке равен Ф₀.

Решение. Согласно закону Малюса, I=I₀cos²j. Тогда энергию проходящую через поляризатор за один оборот, т. е. за период Т = 2p/w, определим следующим выражением:

Имея в виду, что

получим в результате

Задача 2.Степень поляризации.

На пути частично-поляризованного света поместили поляризатор. При повороте плоскости пропускания поляризатора из положения, соответствующего максимуму пропускания, на угол j, интенсивность прошедшего света уменьшилась в h раз. Найти степень поляризации падающего света.

Решение. Представим частично-поляризованный свет как сумму естественного и поляризованного. Тогда степень поляризации этого света

(1)

где I_e и I_n — интенсивности естественной и поляризованной составляющих. Найдем отношение I_e / I_n. Согласно условию и закону Малюса

Отсюда

После подстановки последнего выражения в (1) получим:

Задача3.

Свет проходит через систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми расположена кварцевая пластинка. Ее оптическая ось составляет угол 45° с плоскостями пропускания поляризаторов. При какой минимальной толщине пластинки свет с дли­ной волны l₁ = 643 нм будет проходить сквозь эту систему с максимальной интенсивностью, а свет с l₂ = 564 нм будет практиче­ски задержан, если для обеих длин волн n_e – п₀ = 0,0090?

Решение. Согласно

Для максимума пропускания эта пластинка должна быть пластинкой l/2, т. е. т₁ должно быть нечетным, а для минимума — пластинкой в целую волну, т. е. т₂ должно быть четным. Из приведенной формулы следует, что т₁ l₁= т₂ l₂. Отсюда

Полученное значение 1,14 надо представить как отношение наименьших значений четного числа т₂ к нечетному т₁. Легко убедиться (например, подбором), что это будут 8 и 7, т. е. т ₂= =8 и m_l = 7. Возвращаясь к первой формуле, находим

Задача 4. Естественное вращение плоскости поляризации. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Постоянная вращения пластинки для данной длины волны равна a. При какой минимальной толщине пластинки вся система будет пропускать h - часть интенсивности света, падающего на нее?

Решение.

рис. 1

Обозначим плоскости пропускания поляризаторов через Pи Р'. После первого поляризатора Pинтенсивность света станет равной I ₀ /2, где I ₀ — интенсивность падающего света. Плоскость поляризации этого света пластинка повернет на угол j = a h, h - толщина пластинки. Через поляризатор Р' пройдет (по Малюсу), как видно из рисунка, (I ₀ /2)sin²j. Значит, мы имеем

Модуль проекции вектора Е на плоскость пропускания поляризатора P ', равный

| Е sinj|, может быть при многих значениях угла j, а значит при многих значениях и h - толщины пластинки. Нас интересует минимальная толщина, обеспечивающая указанное условие. Эта толщина должна соответствовать минимальному значению j_min, т. е. должно выполняться условие j_min < p /2. Зна­чит, подставив это значение j в (1), получим

В заключение, полезно убедиться в том, что если бы в условии задачи не было требования о нахождении минимальной толщины пластинки, то угол ф, удовлетворяющий пропусканию -h - части света, был бы неоднозначным, а следовательно неоднозначной должна была бы быть и толщина пластинки. Не трудно проверить с помощью рис. 1, что возможные значения j были бы следующие:

Задача 5. Эффект Керра. Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными поляризаторами так, что направление напряженности Е электрического поля образовало угол 45° с плоскостями пропускания поляризаторов. Конденсатор имеет длину l — 10,0 см и заполнен нитробензолом. На систему падает свет с длиной волны l = 0,50 мкм. Имея в виду, что в этих условиях постоянная Керра В = 2,2-Ю"¹⁰ см/В², определить:

а) минимальную напряженность E электрического поля в конденсаторе, при которой интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего поляризатора;

б) число прерываний света ежесекундно, если на конденсатор подать синусоидальное напряжение с частотой v = 10 МГц и амплитудным значением напряженности Е — 50 кВ/см.

Р е ш е н и е.

а) Легко сообразить, что интенсивность прошедшего света не будет зависеть от поворота заднего поляризатора только в том случае, если свет поляризован по кругу, т. е. нитробензол ведет себя в этом случае как пластинка l/4. Это значит, что согласно

получим

где m - нечетное, и по условию (Е должно быть минимальным) m= 1. Отсюда

б) Сначала найдем число прерываний за время, в течение которого Е возрастает (рис. 1). Из условия

найдем m_макс. Справа в этой формуле записано целое число длин волн, по­скольку поляризаторы скрещены, и в этом случае при целых значениях mинтенсивность I_^¢ = 0. Из последнего равенства после подстановки числовых значений находим

Квадратные скобки означают, что следует брать целое число от полученного значения. За период Т таких прерываний будет

где двойка соответствует тому, что при Е = 0 система тоже не про­пускает свет, а таких прерываний за период будет два.

Число прерываний за 1 с