Оптическая анизотропия кристаллов

Оптические явления в анизотропных телах мы начнем рассмат­ривать с распространения в них плоских электромагнитных волн. Предварительно выясним основные особенности анизотропной среды.

В изотропных телах электрические, а следовательно, и оптиче­ские свойства вещества одинаковы по всем направлениям. К изо­тропным телам относятся газы, большинство жидкостей и аморф­ные твердые тела. Наоборот, в кристаллах наблюдается различие в свойствах для различных направлений. В частности, электриче­ские свойства кристаллов для различных направлений электриче­ского поля оказываются различными. Такие вещества, у которых свойства зависят от направления, называются анизотропными.

Основное оптическое явление, которое имеет место при распро­странении света в кристаллах, Для изотропных веществ между вектором электрической индукции D и вектором напряженности электрического поля Е существу­ет связь:

(9)

где e — диэлектрическая проницаемость среды. Соответственно компоненты вектора D по осям координат х, у, z запишутся в виде:

(10)

Для анизотропного вещества зависимость оказывается более сложной, так как диэлектрическая проницаемость для различных направлений электрического поля в кристалле различна. Компоненты вектора D по осям являются функциями всех трех компонентов вектора Е:

(11)

В формулах (11) диэлектрическая проницаемость представлена уже девятью значениями, которые определяются тем, в каком на правлении действует электрическое поле E и в каком направлении наблюдаются компоненты D. Но так как шесть значений E равны (e_xy = e_yx, e_xz= e_zx, e_yz = e_zy ), то фактически остается только шесть независимых значений e. Анализ несколько упрощается еще благодаря тому, что во всех кристаллах имеются три главных на­правления — так называемые главные электрические оси кристал­ла. Если выбрать эти оси в качестве осей координат, то связь между D и E может быть записана в более простом виде:

(12)

где e_x, e_y, e_z - значения диэлектрической проницаемости со­ответственно для случаев действия электрического поля по выбран­ным таким образом осям х, у, г.

Из соотношений (12) следует, что D и Е в отличие от изотроп­ной среды имеют разные направления.

Перейдем теперь к вопросам, связанным с распространением в кристаллах плоских электромагнитных волн. Мы знаем связь между направлением векторов Е и Н в плоской электромагнитной волне:

(13)

где m, - магнитная проницаемость; n нормаль к поверхности волны. В случае световых волн m = 1.

Умножая обе части равенства (13) на

где n - пока­затель преломления, получим:

(14)

Нетрудно показать, что имеет место и обратная зависимость:

(15)

Таким образом, из формул (41.5) и (41.6) следует, что векторы H, n и E взаимно перпендикулярны. Равным образом D, n и Н также взаимно перпендикулярны. Но в кристаллах D не совпадает по направлению с Е.

Поток энергии электромагнитных волн определяется вектором Умова - Пойнтинга:

(16)

откуда следует, что Е^S, Н^S.

Геометрические соотношения между векторами D, Е, Н, n и S в кристалле, разобранные здесь, изображены на рисунке 7, из которого видно, что направления вектора скорости распространения фазы волны v и вектора скорости распространения энергии v_s не совпадают между собой.

рис. 6.7

Рассмотрим теперь следствия, которые вытекают из уравнений (14) и (15) при распространении света в кристаллах. Подставим Н из (15) в выражение (14), тогда будем иметь:

(17)

По правилам векторного исчисления тройное векторное произведе­ние может быть раскрыто следующим образом:

(18)

Учитывая, что n₂ = 1, получим:

(19)

где (Еn) — скалярное произведение векторов Е и n.

Напишем теперь выражение (19) в компонентах по осям х, y, z, заменив n² = e:

(20)

где a, b, g – направляющие косинусы вектора n. Заменяя в (20) E_x, E_y, E_z, через D_x, D_y, D_z, в соответствии с (12), получим:

(21)

Умножая соответственно D_xна a, D_y на b, D_z на g и складывая, будем иметь:

(22)

Так как векторы D и n ортогональны, то

(23)

Следовательно,

(24)

Если сделаем замену e_x = п_х², e_y = п ², e_z = n_z², то (24) можно представить в виде:

(25)

В формуле (25) п_х, п_у, n_z – показатели преломления для случаев, когда поле волны действует соответственно по осям х, у, г. Умножим знаменатели во всех трех членах уравнения (25) на квадрат скорости света в вакууме с² и введем обозначения:

тогда (25) примет вид:

(26)

Полученное уравнение называется законом Френеля для скорости света в кристалле.

В уравнении (26) А, В, С — это скорости света в случае, когда колебания вектора D совершаются по главным электрическим осям кристалла. Их называют главными скоростями света в кристалле; v — скорость световой волны для произвольного направления (скорость фазы волны для вектора D). Она направлена по нормали п к фронту волны вектора D.

Из уравнения (26) следует, что для любого заданного направления распространения волны в кристалле, даваемого вектором нормали к волне п (a, b, g), скорость волны имеет два значения v₁ и v₂, которые меняются в зависимости от направления распространения. Это означает, что при распространении света в кристалле имеет место распространение одновременно двух волн с разными скоростями. Каждому направлению распространения соответствует свой показатель преломления. Явление раздвоения волн (лучей) при прохождении кристаллов.называют двойным лучепреломлением. Приведем уравнение (26) к общему знаменателю:

(27)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) Если b = О, g= 0, то a = 1, т. е. волна идет в направлении оси х и v имеет два значения:

(28)

2) При a=0, g=0, b=1, т.е. волна идет в направлении оси y; скорость света имеет значения:

(28а)

3) a=0, b=0, g=1; в этом случае волна распространяется в направлении оси z и скорость имеет значения:

(28б)

Чтобы наглядно представить, как распространяются плоские световые волны в кристалле и как меняется скорость световой волны в зависимости от изменения направления нормали к волне, из какой-либо точки в кристалле откладывают фазовую скорость света в виде радиус-векторов по всем возможным направлениям нормали к волне. Проведенную через концы нормальных скоростей поверхность называют поверхностью нормалей. Равенства (28) и (28б) помогают осуществить такое построение. На рисунке 8 такая поверхность нормалей построена.

рис.8

Она имеет двухполостный характер. Пересечение радиус-вектора с поверхностью нормалей дает два значения скорости v₁ и v ₂, что соответствует одновременному распространению в заданном произвольном направлении двух плоских световых волн. Скорости по осям х, у, г соответственно равны В и С, А и С, В и А.