Формулы Френеля

При выводе и анализе этих формул будем пoпрежнему рассматривать неполяризованный свет как сумму двух монохроматических плоских волн, распространяющихся в одном направлении с одной фазовой скоростью и, но поляризованных в двух

взаимно перпендикулярных направлениях, причем фазы этих двух колебаний никак не скоррелированы. Таким способом можно моделировать хаотическую суперпозицию различных эллиптически поляризованных электромагнитных волн, обусловленную обрывами монохроматических колебаний.

рис. 6.5

Для каждого момента времени нетрудно вычислить величину суммарной напряженности электрического поля |Е|, если известны две ее проекции на границу раздела (Е_|| и E_^). В самом деле,

И наоборот, зная |Е|, можно разложить его на две взаимно перпендикулярные компоненты. В качестве направлений таких компонент |Е| удобно выбрать следующие: первая компонента вектора |Е| лежит в плоскости падения – будем обозначать ее через E_||, тогда как вторая компонента E_^ колеблется перпендикулярно к этой плоскости. Запись граничных условий для амплитуд и последующий вывод формул Френеля будем проводить отдельно для этих двух взаимно перпендикулярных направлений колебаний вектора напряженности электрического поля.

1. Вектор Е лежит в плоскости падения электромагнитной волны. Направления векторов Е, E₁ и Е₂ для какого-то момента времени показаны на рис. 5. Для дальнейшего вывода выбор этих направлений более или менее безразличен. Мы останавливаемся на такой их ориентации лишь по аналогии с рассмотренным выше случаем n₂>n₁ при нормальном падении. Направление векторов H,H1 и H2 уже детерминировано выбором направления для Е, Е1 и Е2. В данном случае векторы Н, H1 и Н2 направлены одинаково – перпендикулярно к плоскости чертежа по направлению к читателю. Для проекций амплитуд векторов Е и Н имеем

рис.6.6

Направления векторов E и H на границе раздела вектор Е перпендикулярен плоскости падения. Учитывая, что H₀₀ = n₁Е₀₀, H₁₀ = n₁E₁₀, H₂₀ = n₂Е₂₀, а также n₂/n₁= = sin j1/sinj2, находим

(5)

Тогда

(6)

Складывая уравнения (5) получаем

откуда

(6а)

2. Вектор Е перпендикулярен к плоскости падения волны.

В этом случае выберем направление векторов Н, H1, H2 согласно рис. 6. На нем векторы Е, Е₁ и Е₂ направлены от читателя перпендикулярно к плоскости чертежа. Для проекций амплитуд исследуемых векторов на оси получим соотношения:

Последнее условие можно переписать в виде

(7)

Займемся анализом найденных соотношений. Прежде всего рассмотрим относительные интенсивности отраженной и преломленной воли. Для энергетического описания процессов на границе двух сред ранее были введены коэффициент отражения

и коэффициент пропускания

Проанализируем зависимость коэффициента отражения R от угла падения.

Рассмотрение формул Френеля показывает, что компоненты (E₁)_|| и (E₁) _^ по-разному изменяются с увеличением угла j₁. Во-первых, сразу видно, что если j₁ + j₂ = p/2, то tg(j₁ + j₂) à∞ и, следовательно, (R)_|| = 0. Вместе с тем коэффициент отражения

(R)_^ не обращается в нуль при j₁ + j₂ = p/2, так как знаменатель выражения (7) sin(j₁ + j₂) à1. Таким образом, получается, что при некотором значении угла падения от границы раздела отразится только электромагнитная волна с вполне определенной поляризацией. Волна, в которой колебания вектора Е параллельны плоскости падения, вообще не отразится при j₁ + j₂ = p/2. Вектор Е в отраженной волне при выполнении условия j₁ + j₂ = p/2 будет колебаться перпендикулярно к плоскости падения. В рассматриваемом случае будем говорить, что отраженный свет поляризован в плоскости падения. Отсюда видно, что плоскость поляризации света соответствует плоскости, перпендикулярной к направлению колебаний вектора Е.

Для данного случая, впервые экспериментально обнаруженного Малю, очевидны следующие соотношения: если j₁ + j₂= p/2, то sinj₁ = cosj₂ и, значит,

Эта зависимость угла, при котором наблюдается плоская поляризация отраженной волны, от отношения показателей преломления двух исследуемых диэлектриков носит название закона Брюстера, а соответствующий угол часто называют углом Брюстера (ФБР). В этих обозначениях

Для перехода световой волны (видимая область спектра) из воздуха в стекло tgj_бр» 1,5/1, что соответствует углу j_бр » 57°.