Функция полезности

В XIX веке экономисты высказали предположение о существовании у каждого индивидуума определённого количественного измерителя счастья или полезности – “пользометра”. Единицы измерения этого прибора назвали “утилями” (от английского utility – полезность). Согласно этой модели потребительского поведения каждый потребитель выбирает так товары и услуги, чтобы максимизировать свою полезность в пределах средств, которыми он располагает. Эта идея перенесена на многокритериальные задачи и интенсивно разрабатывается в теории полезности, ставшей самостоятельным направлением прикладной математики.

Применительно к многокритериальной задаче в качестве товаров и услуг выступают критерии, а в качестве потребителя – ЛПР. При этом предполагается существование на множестве значений критериев y ₁ ,y ₂ ,….,y_m скалярной оценки предпочтений ЛПР, называемой полезностью.

Приведём строгое определение этого понятия. Функция U, которая каждой точке Y критериального пространства ставит в соответствие действительное число U (Y),называется функцией полезности (ценности) ЛПР, если

Y¢ ~ Y^"Û U (Y')= U (Y"),

Y'ýY"Û U (Y')> U (Y").

Таким образом, функция полезности представляет собой математическую модель предпочтений ЛПР. Если функция полезности известна, то многокритериальная задача сводится к стандартной задаче оптимизации: найти вектор X ÎD, максимизирующий U [Y(X)]. Множество точек критериального пространства, одинаковых по предпочтительности (для которых U (Y )= Const), образует гиперповерхность равного уровня функции полезности. Гиперповерхности равного уровня U (Y) называются кривыми безразличия, а семейство всех кривых безразличия – картой безразличия. Такая терминология связана с тем, что для любых двух альтернатив Y' и Y", лежащих на одной кривой безразличия, U (Y')= U (Y"), т.е. ЛПР всё равно, достигнет он Y ' или Y". Пример карты безразличия некоторой функции полезности и нахождение по ней оптимального решения показаны на рис. 10.4.

Очевидно, что наибольшие затруднения при практическом применении рассматриваемого подхода вызывает построение функции полезности, адекватно отражающей предпочтения ЛПР.

G

Чтобы построить U (Y), прежде всего необходимо установить её вид, который определяется структурой предпочтения ЛПР. Выявление структуры предпочтений – самый ответственный этап построения функции полезности. Следует однако заметить, что если функция U однозначно определяет всю структуру предпочтений, то обратное неверно. Это значит, что одна и та же структура может быть представлена разными функциями полезности, которые являются стратегически эквивалентными. Функции полезности U ₁(Y) и U ₂(Y) стратегически эквивалентны, если они приводят к одинаковому упорядочению по предпочтению. Так любые U ₁ и U ₂, связанные какой-либо монотонно возрастающей функцией Т(), являются эквивалентными. Действительно, максимизация U ₁(Y) и U ₂(Y)= T [ U ₁(Y)] приведет к одному результату, т.е. обе функции одинаково отражают структуру предпочтений ЛПР.

В благоприятных случаях удается описывать предпочтения ЛПР функцией полезности, имеющей сравнительно простой вид:

U(y ₁ ,y ₂ ,...,y_m)=F [ U ₁ (y ₁ ),U ₂ (y ₂ ),...,U_m(y_m) ], (10.7)

т.е. многомерная функция определяется через одномерные функции полезности значений одного отдельно взятого критерия. Типичные примеры таких функций для m =2:

U (Y)= C ₁ y ₁ + С ₂ у ₂, С ₁ >0, С ₂ >0,

, >0, >0.

Формализация структуры предпочтений основана на
исследовании возможности взаимной компенсации значений различных критериев. Это проблема замещения по полезности. Возможные замещения на наборе критериев может дать только ЛПР, а выявить их у ЛПР и формально описать - задача аналитика. Далее будем предполагать, что критерии независимы по предпочтению (см. раздел 10.1.3), и рассмотрим простейшие случаи построения U (Y) для m =2.

Предельный коэффициент замещения критерия y ₁ на критерий у ₂ в точке (, ) равен , если ЛПР согласен уступить единиц критерия y ₁ за единиц критерия у ₂, где - достаточно малая величина (строго говоря, при 0). В общем случае предельные коэффициенты замещения зависят от значений y ₁ и у ₂. Возвращаясь к рис.10.4 нетрудно понять, что предельный коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия в точке (, ), взятый с обратным знаком. Отсюда ясно, что определение коэффициентов замещения дает представление о карте безразличия, а следовательно, и о виде функции полезности.

Если коэффициент замещения не зависит от значений y ₁ и у ₂, то это означает, что кривые безразличия – прямые, имеющие вид

y ₁ + y ₂ =Const,

а предпочтения ЛПР могут быть представлены функцией

U (Y )=y ₁ + y ₂. (10.8)

Если предельный коэффициент замещения зависит от значения у ₂, но не зависит от y ₁, то подходящей составной функцией полезности может быть

U (Y )=y ₁ + U ₂ (y ₂ ). (10.9)

Возможный путь получения U ₂ (y ₂ ) состоит в следующем. Примем произвольно U ₂ ()=0, что дает точку отсчета значений U ₂. Тогда U ₂ () есть сумма в единицах y ₁, которую ЛПР согласен "заплатить" за переход от к . Выявив у ЛПР эти суммы для ряда значений у ₂, получим график функции U ₂ (y ₂ ) как, например, на рис.10.5.

Карта безразличия, соответствующая структуре предпочтений (10.9), имеет вид семейства кривых, которые получаются простым сдвигом по горизонтали (по оси у ₁) одной из них. Аналогичный подход применяется и в случае, когда зависит от y ₁, но не зависит от у ₂.

Из ситуаций, когда коэффициент замещения зависит от значений обоих критериев, рассмотрим самую простую: структура предпочтений ЛПР аддитивна. Обратимся к рис 10.6. Если вместо знака вопроса (?) ЛПР поставит d, т.е. он согласен заплатить d единиц у ₁ за увеличение у ₂ на с в точке D и это остается в силе при любых значениях а, b, с и d и в любых точках А, В, С и D, образующих прямоугольник, то имеет место условие соответственных замещений.

Доказано, что структура предпочтений аддитивна и, следовательно, описывается функцией полезности вида

U (Y )=U ₁ (y ₁ )+ U ₂ (y ₂ ) (10.10)

тогда и только тогда, когда выполняется условие соответственных замещений.

Одна из процедур построения функции (10.10), которую
рассмотрим ниже, использует эквивалентность замещений в разных
диапазонах одного из критериев. Приведем необходимые
определения. Пара () эквивалентна по разности полезности
паре (), где < и < , если для любого исходного
значения критерия у ₂ ЛПР согласен "заплатить" одно и то же
количество единиц у ₂ за увеличение y₁ как от до , так и от
до . Средней по полезности точкой интервала [ ] значений критерия y_i называется точка, которая образует
эквивалентные по разности полезности пары [ ] и [ ].
Заметим, что из условия соответственных замещений следует независимость значения средней точки для данного интервала y ₁от значений критерия у ₂, хотя "плата" за изменение у _i (в единицах у ₂) будет зависеть от уровня у ₂.

Для построения функции полезности предварительно устанавливаем область возможных значений критериев: . Полагая, что структура предпочтений ЛПР аддитивна (на основе соответствующих предварительных исследований), функцию полезности представим в виде

U(y ₁ ,y ₂ )= ₁ U ₁ (y ₁ )+ ₂ U ₂ (y ₂ ), (10.11)

где

U_i()=0, U_i()= 1, (10.12)

>0, ₂ >0 и ₁ + ₂ = 1. (10.13)

В процедуре отыскания U в виде (10.11), приводимой ниже, одинаковость пар и значения средних точек определяет ЛПР в диалоге с аналитиком.

I.Строим U ₁ в следующей последовательности:

-находим среднюю по полезности точку у интервала [ ] и полагаем U ₁ (y )=0,5;

-находим среднюю по полезности точку у интервала [у , ] и полагаем U ₁ (y )=0.75;

-находим среднюю по полезности точку у интервала [ ] и принимаем U ₁ (y )=0,25;

-проверяем согласованность результатов: является ли у средней по полезности точкой интервала [ у , у ]? Если нет, то придется корректировать эти точки до достижения согласованности.

-по пяти определенным точкам (или большему числу, если продолжить дробление интервалов) строится график функции U ₁ (y ₁ ).

2. Таким же образом находим U ₂ (у ₂ ).

3. Определяем коэффициенты шкалирования и ₂. Для этого выбираем любые две одинаковые по предпочтительности пары (y ₁ ,y ₂). Пусть, например, это пары () и (). Тогда

U ()= U ()

или

. (10.14)

Значения U ₁ и U ₂ в точках и определяются по построенным графикам. Добавив к (10.14) равенство (10.13), находим значения и .

Соответствие полученной функции полезности структуре предпочтений ЛПР можно дополнительно проверить, предложив ему несколько пар значений критериев (отличных от и ) с одним значением U. Если ЛПР сочтет их примерно одинаковыми по предпочтительности, то построенная функция приемлема. В противном случае следует повторить 3-й этап процедуры с тем, чтобы уточнить значения и (их можно получить более надежно усреднением по нескольким парам с равной предпочтительностью).

С увеличением размерности критериального пространства трудоемкость построения функции полезности даже в аддитивном виде резко возрастает. А при более сложной структуре предпочтений ЛПР отыскание адекватной U (Y)становится весьма проблематичным.

Несмотря на то что имеется целый ряд хорошо разработанных процедур построения функции полезности (например, Р.Кини и Х.Райфа) рассмотренный подход к решению многокритериальных задач находит ограниченное применение. И прежде всего это связано с необходимостью длительной и напряженной работы с ЛПР. А как известно, руководители - народ занятой, да и далеко не все из них могут высказывать непротиворечивые суждения. Проблема многократно усложняется в ситуациях группового принятия решений. В то же время следует отметить главное достоинство метода: функция полезности наиболее полно и адекватно отражает систему ценностей ЛПР и позволяет относительно просто находить решение, наиболее предпочтительное (и в этом смысле оптимальное) для ЛПР с помощью одной стандартной задачи оптимизации.