Модели оптимизации загрузки невзаимозаменяемого оборудования

В задачах загрузки невзаимозаменяемого оборудования возможно использование различных критериев оптимизации, в том числе и рассмотренных ранее. В этом случае задача оптимизации загрузки оборудования сводится к подбору оптимальной производственной программы, позволяющей наилучшим образом использовать имеющиеся производственные мощности. Отличие модели оптимальной загрузки невзаимозаменяемого оборудования от более общей задачи оптимального использования ресурсов (2.8)÷(2.10) заключается в экономическом истолковании лимитов ресурсов и норм затрат ресурсов .

Введем для моделей загрузки оборудования следующие обозначения:

­ индекс вида оборудовании,

­ норма затрат станочного времени работы -ого оборудования на производство единицы -ой продукции,

­ полезный (эффективный фонд) времени оборудования вида .

Основной вид модели подбора программы под имеющиеся мощности может быть следующим:

(2.39)

(2.40)

(2.41)

где - прибыль от единицы j – той продукции,

- нормы затрат времени h- той группы оборудования на единицу j- той продукции,

- эффективный фонд времени работы h- той группы оборудования.

Требуется определить объем выпуска j - той продукции () с целью получения максимального объема прибыли в пределах имеющихся мощностей. Здесь мы имеем частное проявление общей задачи на максимум результата при использовании ограниченного количества ресурсов.

В задаче загрузки оборудования может быть использован критерий максимума загрузки оборудования. Использование критерия на максимум загрузки может быть оправдано, ибо возможный выбор более станкоемкой продукции означает выбор более сложной в изготовлении (следовательно, и более дорогой, как правило, по цене или более прибыльной) продукции. Если нам неизвестны потребительские качества продукции, ее прибыль, себестоимость или мы можем ими пренебречь (например, значения этих показателей достаточно близки для разных видов продукции), то результатом производства может служить выпуск продукции вообще. Оптимизировать результаты производства в этом случае возможно, например, через затраты станочного времени. В этом случае целевая функция может быть представлена так:

(2.42)

Как правило, для одной и той же экономической задачи может быть представлено несколько моделей. В частности задача максимума загрузки оборудования может быть поставлена иначе. Вспомним, что для решения задачи методом линейного программирования система ограничений (неравенства) представляются в виде уравнений добавлением в левую часть неравенств новых переменных ­ дополнительных неизвестных , экономический смысл которых в нашей задаче ­ неиспользованный остаток фонда времени работы -ого оборудования. Так как все дополнительные неизвестные так же будут измеряться в станко-часах, то их сумма означает совокупный неиспользуемый остаток фонда времени работы оборудования всех видов. В этом случае модель на максимум загрузки оборудования можно записать следующим образом:

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

Если заданы плановые задания по выпуску продукции вида

, (2.47)

то можно решить задачу по отысканию значений сверхпланового выпуска продукции , максимизирующих загрузку свободных остатков станочного времени. Обозначим свободные остатки фондов работы оборудования после обязательного выполнения плана

(2.48)

Модель задачи поиска сверхплановой продукции по критерию максимума загрузки оборудования примет вид

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

После решения задачи значения исходных переменных могут быть получены простым суммированием: .

Введение в модель ограничений по производственной программе, как и в задаче на максимум прибыли, целесообразно лишь при существовании нескольких способов производства одноименной продукции. Тогда оптимизация становится возможной за счет выбора наилучших способов производства каждой продукции в рамках заданных фиксированных планов их выпуска:

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

1. Назначение и виды моделей оптимизации состава промышленных смесей, особенности их представления

В ряде производств (металлургической, пищевой, нефтеперерабатывающей отраслях промышленности) готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов (сырья), при этом качество готовой продукции должно соответствовать определенным требованиям при достижении максимального экономического эффекта.

Проблема рационального использования сырья в этих случаях может быть решена путем применения экономико-математических моделей оптимального составления смесей.

Как правило, исходные компоненты смеси взаимозаменяемы по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами.

Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которое удовлетворяет заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).

Задача смешивания может быть рассмотрена в натуральных единицах или в долях.

Первая разновидность смесевых задач определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема.

– индекс качественной характеристики; имеет отношение к исходным видам сырья, материалов и к готовой продукции ();

- индекс исходных компонентов смеси ();

─ имеющийся объем -ой компоненты (сырья);

- содержание -той качественной характеристики в единице -го исходного компонента;

- содержание -той качественной характеристики в единице готовой смеси; для качественных характеристик, ухудшающих качество продукции, задается верхняя граница содержания той или иной качественной характеристики, а для качественных характеристик, улучшающих качество продукции, задается нижняя граница содержания той или иной качественной характеристики;

─ имеющийся ресурс -ой компоненты;

- цена единицы - ой исходной компоненты (включая расходы на переработку);

- количество - ой исходной компоненты, которое входит в готовую смесь.

─ общее количество готовой продукции, которое следует изготовить по плану

Формализованная модель задачи оптимизации состава требуемого объема смеси представлена в (2.68) ÷ (2.72)

Целевая функция:

(2.68)

ограничения, ухудшающие качества:

(2.69)

ограничения, улучшающие качества:

(2.70)

ограничение по плану производства продукции:

(2.71)

ограничение по ресурсам:

(2.72)

Вторая разновидность смесевых задач касается оптимизации структуры готовой продукции, безотносительно к объемам.

Экономико-математическая модель этой задачи будет включать выражения:

целевая функция:

(2.79)

ограничения на качество смеси:

(2.80)

(2.81)

ограничение по формированию структуры смеси:

. (2.82)

неотрицательность переменных:

.

Модели общего вида применяются при решении “задач о диете” – а именно задач составления оптимальных кормовых рационов, задач составления смесей минеральных удобрений, задач составления смесей нескольких химических веществ.

Более сложные модели задач смешивания составляются в тех случаях, когда в результате смешивания одних и тех же исходных компонентов могут быть получены различные виды готовой продукции. Тогда наряду с ограничениями по исходным компонентам задаются объемные ограничения по выпуску готовой продукции. Типичным примером таких моделей является модель смешивания нефтепродуктов

Для получения готовых бензинов на установку поступают различные исходные компоненты (нефтепродукты). Оптимальный план позволяет определить, в каких количествах должны смешиваться различные исходные компоненты, чтобы различные сорта бензина (готовой продукции) выпускались в соответствии с планом и заданными по стандарту качественными характеристиками при обеспечении рентабельной работы установки.

Введем обозначения:

- индекс качественной характеристики, применяется по отношению к исходным нефтепродуктам и к сортам бензина;

- индекс исходного нефтепродукта;

k –индекс вида готового бензина, ;

- ограниченное количество j-го вида исходного нефтепродукта;

B_k – плановое задание по выпуску бензина k-го сорта,

h_ij – содержание i – той качественной характеристики в единице j – го исходного нефтепродукта;

H_ik – содержание i - той качественной характеристики в бензине k- го вида;

C_j – цена исходного j- го нефтепродукта;

– цена бензина k - го вида.

Требуется определить X_jk – количество j–го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k- го вида бензина.

Модель задачи представлена в выражениях (2.84)÷(2.88):

(2.84)

по объему ресурсов: (), (2.85)

по выпуску продукции: (), (2.86)

по качественным характеристикам:

(; ) (2.87)

(; ). (2.88)

Все сформулированные смесевые задачи решаются методами линейного программирования.