Інтегральні співвідношення Кармана для примежового шару

Для зведення системи (5.5) до звичайного диференціального рівняння зробимо в ній такі перетворення:

– у першому рівнянні виразимо в правій частині складову за рівнянням Бернуллі в диференційній формі для струминки нев’язкої течії поза примежовим шаром:

(5.6)

– в обидва члени другого рівняння системи (5.5) уведемо під знак диференціювання величину , при цьому враховуючи, що , необхідно до першої частини цього рівняння додати добуток ;

– до лівої частини першого рівняння системи (5.5) додамо друге рівняння, яке попередньо помножимо на .

У результаті перетворення системи (5.5) вона буде мати вигляд:

(5.7)

Віднімемо від другого рівняння системи (5.7) перше рівняння і проінтегруємо всі члени отриманого виразу від до (реально ), у результаті інтегрування і перетворення отримаємо:

.

Змінивши порядок інтегрування і диференціювання та з урахуванням позначення

,

отримаємо звичайне диференційне рівняння

,

або після розкриття першого добутку

, (5.8)

де .

Рівняння (5.8) називається рівнянням імпульсів Кармана, а величини – інтегральними співвідношеннями теорії примежового шару, які мають обґрунтовану фізичну сутність:

– товщина виштовхування, яка характеризує зменшення витрат рідини крізь площадку, відповідну товщині примежового шару внаслідок в’язкості;

– товщина втрати імпульсу, яка характеризує зменшення кількості руху внаслідок в’язкості.

Зменшення маси можна розрахувати таким чином:

,

а зменшення кількості руху

Якщо розглядається стислива рідина, тоді треба враховувати, що густина змінюється за товщиною примежового шару.

Формули для зменшення маси і кількості руху будуть мати такий вигляд:

(5.9)

(5.10)

де ;

;

– густина на верхній межі примежового шару.

Рис. 5.5. Схема сил, що діють на об’єм рідини у примежовому шарі

Можна припустити, що сили тертя діють на рідину з боку стінки тільки на виштовховану масу рідини. Крім того, до неї будуть прикладені сили від різниці тиску в напрямку течії (рис. 5.5).

За законом імпульсів приріст кількості руху секундної маси рідини на ділянці dx дорівнює сумі імпульсів зовнішніх сил, тобто сил тертя і сил тиску за одну секунду

або

(5.11)