Достаточное условие разложения функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле

Т е о р е м а. Если в интервале [– l, l ] функция f (x) имеет конечное число точек разрыва первого рода (или непрерывна) и конечное число точек экстремума (или не имеет их вовсе), то ее ряд Фурье сходится, т.е. имеет сумму S (x) во всех точках указанного интервала.

При этом:

а) в точках непрерывности функции f (x) ряд сходится к самой функции: S (x) = f (x);

b) в каждой точке разрыва x_k функции f (x) ряд сходится к полусумме односторонних пределов функции слева и справа:

;

c) в обеих граничных точках интервала [ –l, l ] ряд сходится к полусумме односторонних пределов функции при стремлении х к этим точкам изнутри интервала:

.

Часто периодическая функция f (z) задается на интервале [ – , ]. В этом случае ряд Фурье для f (z) записывается в несколько ином виде:

, (57)

где

(m = 0, 1, 2, …); (58)

(m = 1, 2, 3 …). (59)

К этому ряду также применима теорема Дирихле и полученные ниже выводы.