Теорема Абеля. Доказать

Теорема Абеля Если степенной ряд (6) сходится при х = х₁, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х₁ по модулю (|x| < |x₁|). Если ряд (6) расходится при х = х₂, то он расходится при всех значениях х больших х₂ по модулю (|x| > |x₂|).

Док-во. Пусть при х = х₁ ряд (6) сходится, т.е. и все его члены ограничены a_nxⁿ < M. Преобразуем (6) к виду (7)

Введем в ряд (7) модули (8)

и сравним его с рядом (9)

Большими оказываются члены ряда (9): |a_n x₁ⁿ| (|x/x₁|)ⁿ < M (|x/x₁|)ⁿ , который является геометрической прогрессией. При |x| < |x₁| ряд (9) сходится, следовательно, сходится и ряд с меньшими членами (8) и абсолютно сходятся ряды (7) и (6).

Пусть при х = х₂ ряд (6) расходится. Предположим, что существует х большее х₂ по модулю (|x| > |x₂|), при котором ряд (6) сходится. Но тогда он должен сходится и при x₂. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x₂|.