Признак абсолютной сходимости. Доказать

Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Признак абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из модулей элементов знакопеременного ряда, сходится, то и сам знакопеременный ряд является сходящимся,

т.е. из сходимости ряда (a) следует сходимость ряда (b)

Док-во. В частичной сумме ряда (b) S_n выделим все положительные слагаемые S_n’ и отрицательные слагаемые S_n’’. Тогда имеем для (b): S_n = S_n’ - S_n’’ и для (а):

s_n = S_n’ + S_n’’, следовательно, S_n < s_n. Из условия сходимости ряда (а) следует s_n < s или S_n < s_n < s, т.е. частичные суммы S_n ограничены и, следовательно, знакопеременный ряд (b) сходится.

Признак абсолютной сходимости является достаточным, но не необходимым.

Пр. Ряд сходится по признаку Лейбница (u_n = 1/n > u_n+1 = 1/(n+1) -да,

lim u_n = lim 1/n = 0 -да), а гармонический ряд является расходящимся. Опр. Сходящийся з накопеременный ряд наз. абсолютно сходящимся, если также сходится ряд составленный из модулей его членов, и условно сходящимся, если ряд из модулей не сходится.

На абсолютно сходящиеся ряды переносятся все основные свойства конечных сумм.