Признак Даламбера. Доказать

2.) Признак Даламбера. Если предел отношения последующего члена ряда (1) к предыдущему меньше 1, то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится

Если , то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (u_{n + 1} / u_n) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости: Для всякого e > 0 существует такое N, что при n > N выполняется неравенство l - e < u_{n + 1} / u_n < l + e, т.е. с ростом n член последовательности оказывается в сколь угодно малой e - окрестности точки l.

Пусть l < 1, e мало и q = l + e < 1, тогда из условия u_{N + 1} / u_N < q следует u_N+1 <qu_N, u_N+2 <q u_N+1 < q²u_N, u_N+3 < q³u_N,... В результате получаем две числовые последовательности: u_N, u_N+1, u_N+2,... и u_N, q u_N, q² u_N, q³ u_N... связанные неравенством u_N+n < u_N qⁿ. Строим из них ряды. Т.к. ряд с большими членами (геометрическая прогрессия, q < 1) сходится, то ряд с меньшими членами также сходится по признаку сравнения и по свойству 1⁰ сходится исходный ряд . При l > 1 аналогичным образом получаем обратный результат