Функциональные отношения. Отображения

Пусть даны множества X и Y. Бинарное отношение x R y является функциональным (функцией), если каждому элементу x ∈ X соответствует не более одного элемента y ∈ Y.. Из этого определения следует, что одно-многозначные и много-многозначные отношения функциональными быть не могут.

Для обозначения функции используются различные записи:

, f:X →Y; f (x); (x, y) ∈ F, y = F(x), где F⊂ X×Y.

Значение функции y ∈ Y называют образом элемента x ∈ X, а сам элемент x ∈ X — прообразом. Множество X — это область определения функции, Y — область значений.

Функция y = F(x) называется всюду определенной, если каждому элементу x ∈ X соответствует один элемент y ∈ Y. В этом случае функцию называют также отображением (или инъекцией) множества X в множество Y. Функция является недоопределенной (частично определенной), если имеется хотя бы один элемент x ∈ X, которому не соответствует никакой элемент y ∈ Y. Отсюда следует, что недоопределенные функции отображениями не являются.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть даны два множества:

X = {а, б, в, г, д, е}; Y = {1, 2, 3, 4}.

(1.27)

Выделим в множестве X×Y подмножество вида:

F = {(а, 1), (б, 3), (в, 4), (г, 2), (д, 2), (е, 3)}.

Первый элемент каждой пары множества F — это элемент множества X, второй — элемент множества Y. Все первые элементы различны, следовательно, каждому значению x ∈ X соответствует точно один элемент y ∈ Y. Это значит, что множество F представляет собой функциональное отношение и, следовательно, является отображением множества X в множество Y.

Пример 2. Выделим в декартовом произведении множеств (28) множество вида:

M = {(а, 1), (а, 2), (б, 3), (в, 4), (г, 3), (д, 2), (е, 4)}.

В это множество входят пары (а, 1) и (а, 2), у которых первые элементы одинаковы. Что это значит? Очевидно, то, что элементу а ∈ X соответствуют два элемента множества Y: 1 ∈ Y и 2 ∈ Y. Но по определению функционального отношения каждому элементу множества X может соответствовать не более одного элемента множества Y. Следовательно, отношение, представленное множеством M, не является функцией.

Пример 3. Пусть X={1, 2, 3, 4}, Y={а, б, в} и пусть отношение F имеет вид «буквам русского алфавита ставятся в соответствие их порядковые номера», т. е.:

.

(1.28)

Элементу 4 ∈ X в множестве Y не соответствует никакой элемент, следовательно, отношение (29) есть не полностью определенная функция. Расширим область определения функции, заменив множество {а, б, в} множеством {а, б, в, г}, тогда получим:

.

Теперь функция является всюду определенной.

Пример 4. Пусть дано выражение:

.

(1.29)

Известно, что, например, и, так как 3² = 9 и (–3)²= 9, т. е. одному и тому же значению x соответствуют два различных значения y. Следовательно, по определению выражение (30) функцией не является. Если же ограничиться только неотрицательными числами, то выражение (30) является функцией с областью определения и областью значений в множестве неотрицательных чисел.