Отношения соответствия

Понятие соответствия ясно интуитивно. Например, если требуется закодировать сообщение заменой букв алфавита их порядковыми номерами, то каждой букве необходимо поставить в соответствие определенное десятичное число. Если в кассе кинотеатра продают билеты на какой-либо сеанс, это значит, что каждому билету соответствует определенное место в зрительном зале. Если цветные карандаши упаковывают в коробки, то каждому набору цветных карандашей соответствует некоторая коробка, и т. д. Этот интуитивно ясный смысл вкладывается в слово «соответствие» и в том случае, когда говорят о каких-либо двух множествах.

В общем случае между элементами множеств A и B могут быть четыре вида соответствия в зависимости от того, один или несколько элементов множества A соответствуют элементу множества B и один или несколько элементов множества B ставятся в соответствие элементу множества A:

1) взаимно однозначное соответствие, когда каждому элементу a ∈ A ставится в соответствие единственный элемент b ∈ B и когда каждому элементу b ∈ B соответствует только один элемент a ∈ A. Например, если 33 буквы русского алфавита пронумеровать, то получим два множества A = {А, Б, В, …, Ю, Я} и B = {1, 2, 3,…, 32, 33}, между которыми существует взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначные соответствия называют биективными отображениями, или биекциями;

2) одно-многозначное соответствие, когда каждому элементу a ∈ A ставится в соответствие несколько (более одного) элементов множества B, но каждому элементу b ∈ B соответствует только один элемент a ∈ A. Примером может служить отношение: «a есть квадрат b». Пусть A = {1, 4, 9}, B = {–1, –2, –3, 1, 2, 3}. Тогда элементу 1 ∈ A ставится в соответствие два элемента 1 ∈ B и –1 ∈ B, поскольку 1 = 1² и 1 = (–1)². То же самое относится и к элементам 4 ∈ A и 9 ∈A;

3) много-однозначное соответствие, когда для каждого элемента a ∈ A существует только один элемент b ∈ B, но каждому элементу множества B соответствует более одного элемента множества A. Примером может служить отношение «быть квадратным корнем», то есть «a есть квадратный корень числа b». Пусть A = {1, 2, 3, –1, –2, –3} и B = {1, 4, 9}. Тогда двум элементам 1 и –1 множества A соответствует один элемент 1 ∈ B, так как квадратным корнем из 1 является и 1 и –1. То же самое относится и к остальным элементам множеств A и B;

4 ) много-многозначное соответствие, когда каждому элементу a ∈ A соответствует более одного элемента множества B и каждому элементу b ∈ B соответствует также более одного элемента множества A. Примером много-многозначного соответствия может служить отношение вида «a не равно b», т. е. «a ≠ b». Допустим, что A={1, 2, 3}, B={2, 3, 4, 5}. Тогда элементу 1 ∈ A соответствуют элементы 2, 3, 4, 5 ∈ B, элементу 2 ∈ A — 3, 4, 5 ∈ B, элементу 3 ∈ A — 2, 4, 5 ∈ B. Аналогично: элементу 2 ∈ B соответствуют элементы 1, 3 ∈ A, элементу 3 ∈ B — 1, 2 ∈ A, элементу 4 ∈ B — 1, 2, 3 ∈ A, элементу 5∈B — 1, 2, 3 ∈ A.