Счетные множества, теоремы о счетных множествах

Существует два подхода к понятию бесконечности. Основой первого является актуальная бесконечность, второго — потенциальная. В первом случае бесконечность рассматривается как множество, содержащее бесконечно много элементов, но при этом предполагается, что оно задано в готовом, сформированном виде и его можно представить как некоторый объект. Именно так представлял себе бесконечное множество Г. Кантор.

Потенциальная же бесконечность рассматривается не как нечто завершенное, а как процесс, у которого нет последнего шага, как процесс непрерывного увеличения числа элементов.

В случае бесконечных множеств прямое перечисление элементов исключено, поэтому задавать их можно только описанием признаков, характерных для элементов данного множества. Например:

A = {x / x — натуральное число, x > 1, x — число, делящееся только на себя и на единицу}.

Согласно этой записи элементами множества A являются простые числа, причем количество их не ограничено, вследствие чего множество A надо считать бесконечным (поскольку доказано, что количество простых чисел бесконечно велико).

В теории бесконечных множеств широко используются понятия натурального числа инатурального ряда.

«Натуральные числа — числа, возникающие в процессе простого счета, целые положительные числа 1, 2, 3, …». В дальнейшем во избежание неопределенности будем считать, что число 0 натуральным не является и что натуральный ряд начинается с единицы: 1, 2, 3, 4, 5, ….

Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным. Согласно этому определению всякое бесконечное множество является счетным, если найдется способ показать, как нумеровать его элементы.

Мощность счетного множества обозначается символом ℵ₀, читается: алефнуль. Алеф — первая буква финикийского (древнесемитского) алфавита.

Например, если E — счетное множество, то |E| = ℵ₀.

Приведем некоторые теоремы о счетных множествах.