 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Выпуклость и вогнутость кривой на промежутке.Точка перегиба графика функции
|
|
Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.
Определение 1: Кривая называется выпуклой (обращена выпуклостью вверх) на интервале 
, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом участке.
Определение 2: Кривая называется вогнутой (обращена выпуклостью вниз) на интервале 
, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом участке.
| b |
| b |
| X |
| Y |
| O |
| a |
| X |
| Y |
| O |
| a |
| Выпуклость вниз |
| Выпуклость вверх |
| Рис. 1 |
Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.
Теорема 1: Пусть функция 
имеет вторую производную 
во всех точках некоторого интервала . Если во всех точках этого интервала 
, то график функции в этом интервале выпуклый (имеет выпуклость вверх), если же 
, то – вогнутый (имеет выпуклость вниз).
Определение 3: Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
рис 2.
На рисунке 2 изображён график функции y = x 3
Точкой перегиба является точка 0.
Нахождение точек перегиба графика функции основано на следующих двух теоремах.
Теорема 2: (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку с абсциссой 
, то эта точка является точкой перегиба графика функции.
Теорема 3: (необходимый признак существования точки перегиба). Пусть функция имеет в интервале непрерывную вторую производную . Тогда, если точка с абсциссой 
является точкой перегиба графика данной функции, то 
.
Абсциссы точек перегиба графика непрерывной функции следует искать среди тех точек, в которых вторая производная или равна нулю или разрывна (в частности, не существует).
Пример:
Функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но
6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0 при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3. График функции на рисунке 2.
5. Правило исследования функции на выпуклость вогнутость кривой и нахождения точек перегиба графика функции.
1. Находим область определения функции, а заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва (стандартное начало любого исследования функции).
2. Находим вторую производную y′′=f′′ (x).
Находим те точки (значения x), в которых вторая производная функции или равна нулю, или не существует. Для этого надо решить уравнение y′′=0 и найти область определения y′′.
3. Наносим все найденные (подозрительные на перегиб) точки на область определения функции (на ось ох) и отмечаем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется этими дугами область определения функции. В каждом из этих интервалов выясняем знак второй производной y′′=f′′ (x). По установленным знакам этой производной отмечаем интервалы выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз) функции (при y'' < 0 – выпуклость, при y'' > 0 – вогнутость), а также точки перегиба функции.
4. Вычисляем значения функции y=f(x) во всех найденных точках ее перегиба и находим тем самым точки перегиба графика функции.
Пример: Исследовать на выпуклость и точки перегиба функцию у = 
- 
Проведём исследование по схеме:
1. Функция у = - 
многочлен, а это значит, что она имеет область определения – множество R.
2. Найдём 
= - 
y'' = 
-6.
3. Найдём точки, в которых y'' = 0: 
- 6 = 0 ⇒ х = 1; y'' – существует при любом значении х.
4. Отметим на оси (ох) точку х = 1. Определим знаки y'' слева и справа от точки х = 1. Слева y'' 
, а это означает, что на промежутке (
1) выпуклость графика имеет направление вверх. Справа от точки х = 1 y'' 
, это значит, что на промежутке (1; 
выпуклость графика имеет направление вниз.
6. Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Определение. Асимптотой графика функции 
называется прямая (кривая) линия, к которой стремится линия графика, но не пересекает её.
Различают три типа асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
1. Прямая линия 
является вертикальной асимптотой графика , если хотя бы один из пределов(правосторонний или левосторонний) 
. Прямая 
может быть вертикальной асимптотой и в том случае, если 
- точка разрыва второго рода или граничная точка области определения. Например, 
в точке 
. Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.
2. Прямая 
является горизонтальной асимптотой, если 
. При условии 
, находят правостороннюю горизонтальную асимптоту , если 
, то — левосторонняя горизонтальная асимптота.
3. Наклонные асимптотыописываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть 
. Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа 
и 
. 
. Зная 
, рассмотрим снова предел: 
. Он выполняется лишь при условии, что 
. Таким образом, найдены 
и 
, а с ними и уравнение наклонной асимптоты.
Если 
, то получаем частный случай горизонтальной асимптоты 
. При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении или ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.
На рисунке 2 изображены вертикальная и наклонная асимптоты.
Рис. 2. 
— вертикальная асимптота; 
– наклонная асимптота.
Пример 1. 
Решение:Найдём вертикальную асимптоту. Точка х = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причём 
, 
. Затем находим наклонные асимптоты: 
;
Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты 
Пример 2. 
Решение: Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Найдём наклонную асимптоту:
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = х.
7. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке [a;b].
Определение1. Говорят, что функция 
достигает на множестве X своего наименьшего (наибольшего) значения в точке 
, если для любого 
имеет место неравенство 
(
).
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке 
, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.
Рисунок 1
|
дифференцируема на интервале 
, то она достигает на отрезке наибольшего и наименьшего значений либо в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, либо на концах отрезка.
(рисунок 1.)
Для функции, график которой изображен на рисунке 1, имеются две точки максимума (
) и одна точка минимума (
), но её наибольшее значение равноf(
, а наименьшее значение равно f(a).
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 
.
1. Найти производную функции
2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции
3. Отметить критические точки на области определения
4. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов
5. Выяснить поведение функции в каждом интервале
7. Учитывая поведение функции, определить точки максимума и точки минимума и значения функций в этих точках.
8. Найти значения функции на концах отрезка , то естьнайти f(a) и f(b). После этого, из всех экстремальных значений функции и её значений на концах отрезка выбрать наибольшее и наименьшее.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 2106 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
