Схема исследования функции для построения графика функции

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: чётность или нечётность функции. Функция f(x) называется чётной, если выполнено условие симметрии её графика относительно оси Оу:

f(-x) =f(x).

Функция f(x) называется нечётной, если выполнено условие симметрии её графика относительно начала координат О(0, 0):

f(-x)=-f(x).

При наличии симметрии строится часть графика на правой полуплоскости, а затем она симметрично отображается на левую полуплоскость.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения y = f(0) и f(x) =0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить наибольшее и наименьшее значения функции на области её определения.

9. Построить график функции с учётом проведённого исследования.

Пример 1 . Исследовать и построить график функции

Решение:

1. Область определения функции: .

2. Функция (5.12) является нечётной, т.к. f(-x) = -f(x).

3. Уравнение f(x) = 0 даёт корни . Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота – ось Оу, так как предел f(x) при бесконечен: при , при .

Определим наклонную асимптоту:

Уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. , т. е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде положительна.

6. - критических точек нет.

-1

Х

У

Рис. 5.2

7. Функция монотонно возрастает на всей области своего определения, так как её производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх ().

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область её значений неограниченна.

9. Строим график функции (рис. 5.2).

Практические задания:

1. Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если:

а) б)

2. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении задана уравнением S = S(t).

Найти максимальную скорость движения тела и момент времени, когда она будет

достигнута, если:

(м);

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке , если:

Тема 5: «Неопределённый интеграл».

1. Определение неопределенного интеграла.

Понятие первообразной функции

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для любого функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство

Пример 1. Функция является первообразной для функции на бесконечном промежутке , так как при любых х выполнено равенство .

Пример 2. Функция - первообразная для функции на промежутке , так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство .

Неопределённый интеграл

Определение 2: Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

Рис. 1

Рис. 1

Геометрический смысл неопределённого интеграла заключается в том, что все первообразные получаются сдвигом по оси (оу) на число С(как на рисунке 1).

В этом обозначении называется знаком интеграла,

f(x) – подынтегральной функцией,

- подынтегральным выражением,

переменная х – переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной по её производной называется интегрированием этой функции.

Физический смысл неопределённого интеграла заключатся в том, что зная скорость при помощи неопределённого интеграла можно найти расстояние

Пример 1. ; проверка:

Пример 2. ; проверка:

Пример 3. ; проверка:

2. Свойства неопределенного интеграла.

1. и

2.

Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределённого интеграла.

3. (Числовой коэффициент можно выносить за знак интеграла).

4. (Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций).

3. Таблица основных формул интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5. .

6.

7.

8.

9.

4. Непосредственное интегрирование.

Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределённых интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.

Пример 2.

5. Метод подстановки при нахождении неопределенных интегралов.

Приём, где путём замены переменных неопределённый интеграл сводится к табличному, называется методом подстановки, или методом замены переменных.

Теорема 1:

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда если функция имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула

(1)

Выражение (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Пример 1.

Решение: Введём новую переменную t = x – 1. Тогда x = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:

Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:

Пример 2.

Решение: Положим t = 2 – x, тогда x = 2 – t, dx=-dt. Отсюда по формуле получаем

Пример 3.

Решение: Положим тогда или и данный интеграл принимает вид табличного интеграла:

6. Формула интегрирования по частям.

Теорема: Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет первообразную на промежутке X, причём справедлива формула

(1)

С учётом вида дифференциалов функций и данное равенство часто используется в форме

(2)