Твірна функція

Почнемо з такої задачі.

Задача. Підкидається 3 монети, причому перша і третя із зміщеними центрами мас або деформовані, друга – симетрична. Статистичним способом установлено, що ймовірності появи герба для І-ої монети , для ІІІ-ої - , для ІІ-ої (симетрична) . Нехай подія означає, що випав герб на будь-якій із трьох монет. Знайти ймовірність появи герба 4 рази при шести підкиданнях монет , якщо при цьому І-а монета підкинута 2 рази, ІІ-а – 3 рази, ІІІ-я – 1 раз.

Ця задача буде розв’язана двома способами.

І спосіб розв’язання За допомогою формули Бернуллі. Тут маємо справу з трьома дослідами, кожний з яких є незалежним рядом випробувань відносно події (поява герба), причому ймовірність появи події є сталою у кожному з дослідів. Для першого з дослідів (І-ша монета) , ; для другого досліду (ІІ-га монета) ; для третього (ІІІ-я монета) .

За допомогою формули Бернуллі побудуємо закони розподілу ймовірностей для кожної з 3-х монет з відповідним числом підкидань.

Так, для першої монети маємо: число підкидань , число появи герба ;

;

;

.

Отримані дані записуємо у таблицю 1.

Таблиця 1.

Аналогічно для ІІ-ї монети: , ; , .

Таблиця 2.

Для ІІІ-ї монети: .

Таблиця 3.

Роглянемо можливі випадки появи герба 4 рази з відповідним розподілом для кожної з монет.

І випадок: , тобто для І-ої - , ІІ-ї - герба, ІІІ-ї – 1;

ІІ випадок: - по аналогії з попереднім;

ІІІ випадок: ;

ІV випадок: ;

V випадок: .

Ймовірність кожного з випадків – це одночасна поява гербів при відповідних підкиданнях трьох монет, тобто це добуток відповідних ймовірностей з 1-ї, 2-ї і 3-ї таблиць.

Так, для першого випадку: ;

для другого: ;

для третього: ;

для четвертого: ;

для п’ятого: ;

Перелічені випадки несумісні, тому за теоремою додавання знаходимо ймовірність появи 4-х гербів при шести підкидання трьох монет:

.

Цю задачу можна розв’язати ІІ-м способом, якщо увести поняття так званої твірної функції.

Отже, нехай проводяться дослідів, кожний з яких є незалежним рядом випробувань по відношенню до події . Ймовірність появи події для кожного досліду є сталою (але різною від досліду до досліду) і відповідно дорівнює: - для І-го досліду; - для ІІ-го досліду, …, - для -го досліду.

Означення. Твірною називається функція , яка подається як добуток біномів

(1)

і має ту властивість, що після перемноження біномів і зведення подібних членів, коефіцієнт при збігається з ймовірністю того, що подія з’явиться раз при випробуваннях, тобто після перетворень отримуємо

. (2)

Приклад. Пристрій складається із двох незалежних працюючих елементів, ймовірність безвідмовної роботи для першого елемента дорівнює , для другого - . Знайти ймовірність того, що будуть працювати безвідмовно: а) обидва елементи; б) тільки один елемент; в) ні один із елементів.

Розв’язання. Відповідно до умови задачі , тоді за формулою (1) маємо

.

Отже, а) ; б) ; в) .

ІІ спосіб розв’язання задачі. Відповідно до умови задачі запишемо твірну функцію у вигляді добутку біномів за формулою (1). Всіх кидань монет 6. І-а монета підкидається 2 рази, цьому відповідають два біноми

.

Для трьох підкидань другої монети ставиться у відповідність добуток

.

Для третьої (одне підкидання) - .

Отже,

.

Розкриваючи дужки, випишемо доданок, що містить , маємо

.

Таким чином,

.

Задача. Чотири стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по спільній мішені. Ймовірності влучення у мішень відповідно дорівнюють і . Необхідно 1) знайти ймовірності . 2) Побудувати таблицю розподілу ймовірності для числа влучень у мішень.

Відповідь:

.