Інтегральна формула Лапласа

Якщо ймовірність появи події в кожному випробуванні стала і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія з’явиться раз при випробуваннях, де не менше і не більше рази, тобто (позначається ) наближено дорівнює визначеному інтегралу:

,

де , .

Якщо скористатись відомим позначенням

,

де , тобто є непарною функцією, то

.

Отже, інтегральна формула Лапласа запишеться у вигляді

. (2)

Функція називається функцією Лапласа, її знаходимо по таблиці 2 (див. Додаток).

Коротко пояснимо ідею отримання формули (1).

Якщо позначити через число появи події при випробуваннях, то

(3)

Введемо такі позначення: ,

(тоді ). Згідно локальної формули Лапласа (див. (1) в 4. 4)

,

тому суму доданків у (3) можна представити, як інтегральну суму, а останню замінити визначеним інегралом, тобто

Якщо , то позначимо , якщо ж , то , тому останню суму замінимо наближено інтегралом, тобто

.

Зауваження. Шукану ймовірність при невеликих і можна знаходити безпосередньо за формулою (3), застосовуючи для кожного доданка формулу Бернуллі. Якщо ж - велике, а різниця - мала, тобто кількість доданків – мала, то до кожного доданка потрібно застосовувати локальну формулу Лапласа. Накінець, якщо ж - велике , і різниця - велика(вимірюється десятками), то тоді зручно використовувати інтегральну формулу Лапласа (2).

Приклад 1. Ймовірність того, що деталь пройшла перевірку технічного контролю дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що серед 100 випадково відібраних деталей перевірених буде 70-90 деталей.

Розв’язання. За умовою задачі маємо .

Знаходимо

,

тоді

.

За таблицею 2 (див. Додаток) , тому

.

Приклад 2. Схожість насіння пшениці дорівнює 95%. Знайти ймовірністьтого, що з 2000 посіяних насінин не зійде 80-120 насінин.

Розв’язання. Ймовірність того, що насіння не зійде, дорівнює , тобто , , .

Знаходимо

Оскільки , а , то за формулою (2) маємо:

.