Формула Бернуллі

Глава IV

Повторні незалежні випробування.

Формула Бернуллі

У цій главі розлядаються задачі, пов’язані з незалежними випробуваннями.

Означення. Ряд випробувань називається незалежним по віднощенню до події , якщо ймовірність події не залежить від того, з’явилась ця подія в інших випробуваннях чи не з’явилось.

Приклади незалежних повторних випробувань.

1. Випадання герба при підкиданні монети не залежить від результатів раніше проведених випробувань.

2. Багатократне виймання із урни однієї кульки за умови, що після фіксування її кольору чи номера, кулька повертається знову в урну.

3. Лотерейне визначення виграшного номера карток спортлото не залежить від проведених до цього розіграшів.

Перейдемо до вивчення випробувань з двома можливими наслідками: подія відбулася (“успіх”), або подія не відбулася (“невдача”), причому ймовірінсть появи події одна і та ж при кожному випробуванні.

Нехай ймовірність появи події при одному випробуванні дорівнює , а ймовірність протилежної події (подія не відбулася) позначимо через , тобто .

Ставиться така задача.

Задача. Проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких подія може відбутися з ймовірністю , і не відбутися із імовірністю .Знайти ймовірність того, що подія відбувається раз при випробуваннях.

Шукана ймовірність позначається і знаходиться за формулою Бернуллі:

, (1)

де - число комбінацій знаходиться за формулою:

, або .

Нагадаємо при цьому, що за означенням

.

Для пояснення справедливості формули Бернуллі розглянемо подію , яка означає, що при незалежних випробуваннях перші раз подія відбувається, а тоді раз не відбувається, тобто

За теоремою множення ймовірність цієї події дорівнює

.

Але можуть бути і інші сполуки, в яких подія раз відбувається і раз не відбувається, їх кількість дорівнює числу комбінацій , тому за теоремою додавання ймовірностей отримаємо формули Бернуллі.

Послідовність випробувань з двома наслідками вперше була вивчена швейцарським математиком Я. Бернуллі (1654-1705). Вона отримала назву схеми Бернуллі і явилась фундаментальною при формуванні основних понять теорії ймовірностей.

Тепер для більшої наочності отримання формули Бернуллі розглянемо такий приклад.

Приклад. У кожному із білетів для заліку міститься по 4 задачі. Студент наугад вибирає один з білетів. Для отримання заліку необхідно вірно розв’язати не менше 3-х задач. Знайти ймовірність отримання заліку, якщо ймовірність вірного розв’язання однієї задачі дорівнює .

Розв’язання. Шукану ймовірність можна знайти, застосовуючи формули:

.

Однак, для більш детального аналізу прикладу розглянемо повну групу подій, яка слкадається із подій, поміщених у таблиці 1. Всі події згруповані для зручності у стовпцях відповідно значенню випадкової величини - числу вірно розв’язаних задач.

Таблиця 1

розв’яза-них задач немає	- одна розв’язана задача	- дві розв’язані задачі	- три розв’язані задачі	- чотири розв’язані задачі

Оскільки

,

то в останньому рядку таблиці 1 записані ймовірності, які відповідають формулі Бернуллі, тобто

(2)

Очевидно, що подія, яка означає появу події не менше 0 і не більше 4 раз , є достовірною, ймовірність якої дорівнює 1, тому

.

Ця рівність узагальнюється для довільних натуральних і

, тобто

. (3)

Оскільки , то відповідно за розкладом по формулі бінома Ньютона маємо рівність

.

Кожний член біноміального розкладу збігається з відповідною ймовірністю останнього рядка таблиці 1. Тому перший і останній рядки табл. 1 є розподілом ймовірностей відповідно до значень випадкової величини і носить назву біноміального розподілу.

Відповідно до умови прикладу підставимо у вирази (2) і обчислимо ймовірності:

Отримані результати зведемо у таблицю 2 розподілу ймовірностей.

Таблиця 2

Даним таблиці 2 можна для наочності дати геометричне зображення, побудувати ламану лінію з вершинами у точках , де . Таку ламану називають многокутником розподілу (див рис. 1).

Рис.1

Отже, як із таблиці 2, так і з рисунка 1 стає більш наочно зрозумілим, що ймовірність розв’язати не менше 3 задач із 4-х, які запропоновано у білеті, дорівнює

.

Крім того, із рис. 1 видно, що найбільш ймовірним числом розв’язаних задач можуть бути дві, або три задачі.