С какой целью применяются методы теории подобия при численном исследовании моделей процессов и аппаратов

Согласно теории подобия частное решение, полученное в результате численного исследования конкретного явления или аппарата может быть перенесено на все подобные явления или аппараты. При этом явления или аппараты являются подобными, если они описываются одинаковой системой определяющих уравнений и условия однозначности их моделей подобны. Условия однозначности двух объектов подобны если безразмерные комплексы составленные из одно именных величин заданных в условиях однозначности каждого из сопоставляемых объектов численно равны друг другу.

1-21 Какие явления и аппараты являются подобными?

Согласно основной теореме теории подобия явления и аппараты подобны, если они описываются одинаковой системой основных уравнений, и условия однозначности их математических моделей подобны. В свою очередь, условия однозначности двух объектов подобны, если безразмерные комплексы, составленные из одноименных величин, заданных в условиях однозначности каждого из сопоставляемых объектов, численно равны друг другу.

1-22 Как необходимо преобразовать исходную математическую модель аппарата или явления, чтобы полученный в ходе численного решения результат можно было распространить на класс подобных явлений или аппаратов?

При постановке и проведении лабораторного или компьютерного исследования по правилам теории подобия необходимо выполнить следующие этапы:

1. Составить математическую модель изучаемого объекта в виде системы основных уравнений и условий однозначности.

2. Выполнить преобразование этой системы в безразмерную форму.

3. Выделить из числа полученных безразмерных комплексов критерии подобия и установить их численные значения на модели, а также пределы их изменения в ходе исследования.

4. Установить, исходя из цели исследования, необходимые пределы изменения безразмерных аргументов (чисел). В зависимости от возможностей модели выбрать шаг изменения каждого из аргументов.

5. Провести численный эксперимент на компьютере или лабораторной установке и определить значения искомой функции, представленной в безразмерном виде, для всех сочетаний значений независимых переменных и критериев подобия.

6. Полученные результаты обработать по правилам математической статистики и получить в явном виде обобщенное критериальное уравнение

Как правило, обобщенное уравнение представляют в виде показательной функции нескольких переменных. Однако, при желании это уравнение может быть представлено, например, в виде полинома n -ой степени и т.д.

Полученное критериальное уравнение справедливо для всех подобных процессов и явлений. Оно устанавливает взаимосвязь между искомой величиной, аргументами и параметрами математической модели в пределах изменения критериев подобия и безразмерных чисел, реализованных в эксперименте.

1-23 С какой целью формулируются условия однозначности? Какие группы условий?

Для того, чтобы индивидуализировать разрабатываемую мат. модель, к системе определяющих уравнений добавляют условия однозначности, в которых формулируют индивидуальные особенности описываемого объекта.

Группы условий: 1)геометрические условия, опис. форму и размеры изучаемого объекта 2)физические условия, содерж. сведения о физич. свойствах изуч. объекта 3)начальные условия, содерж. значения всех перемен. величин, характеризующих изучаемый объект в начальный момент времени 4)граничные условия, описывающие взаимодействие изуч. объекта с окружающей средой.

1-24 Какие группы условий однозначности вы знаете?

1. Геометрические условия, описывающие форму и размеры изучаемого объекта.

2. Физические условия однозначности, включающие сведения о физических свойствах изучаемого объекта.

3. Начальные условия, содержащие значения всех переменных величин, характеризующих изучаемый объект в момент начала исследований.

4. Граничные условия, описывающие взаимодействие изучаемого объекта с окружающей его средой по границам объекта.

1-25 С точки зрения теории подобия что такое модель и что такое образец?

Модель – процесс или аппарат, которые являются объектами исследования или по которым уже имеются результаты исследования.

Образец – процесс или аппарат, на которые хотят перенести результаты исследования на модели. Такой перенос правомерен, если образец и модель подобны.

1-27 Что такое масштаб подобия и что такое индикатор подобия?

1) Если модель и образец подобны, то между всеми одноименными величинами этих объектов существует линейная зависимость:

, (1.1)

где – масштаб подобия по фактору "x".

Из выражения (1.1) следует, что если модель и образец подобны, то у них численно равны не только критерии подобия, но и безразмерные числа.

2) Предположим, что на модели исследуется процесс движения твердого тела, имеющий место на образце. Тогда одним из основных уравнений математической модели процесса будет уравнение второго закона Ньютона

Обозначим массу тела модели через , его скорость через и время движения через . Тогда имеем для модели

(1.2)

После аналогичных рассуждений запишем для образца

(1.2)

Если движения тела в модели и в образце подобны, то согласно (1.1) имеем

(1.3)

Используя принцип взаимозаменяемости, согласно которому и т.д., преобразуем с помощью (1.3) выражение (1.2):

и сгруппируем все масштабы подобия. Тогда получим

Из сопоставления последнего выражения с (1.2) ясно, что последнее уравнение справедливо только в случае, если

(1.4)

Комплекс, составленный из масштабов подобия, называется индикатором подобия. Таким образом, мы установили, что, как утверждает первая теорема теории подобия, у подобных объектов индикаторы подобия равны единице.