Структура математической модели

Математическая модель состоит из двух частей: системы главных уравнений и условий однозначности.

Система главных уравнений описывает наиболее важные процессы, происходящие в изучаемом объекте: движение среды, передачу тепла и массы из одной точки в другую или от одного объекта системы к другому, химические реакции, протекающие в объекте, и т.д. Эти процессы, как правило, описываются уравнениями, выражающими фундаментальные законы природы: законы сохранения массы, энергии, импульса и т.д. Однако, движение среды, перенос тепла и массы, а также одинаковые химические реакции протекают в бесконечном множестве объектов, и во всех этих случаях они описываются одними и теми же уравнениями. Для того, чтобы индивидуализировать составляемую математическую модель, к системе ее основных уравнений добавляют условия однозначности, в которых формулируют индивидуальные особенности описываемого объекта. Условия однозначности делятся на несколько групп, из которых наиболее важными являются следующие.

1. Геометрические условия, описывающие форму и размеры изучаемого объекта.

2. Физические условия однозначности, включающие сведения о физических свойствах изучаемого объекта.

3. Начальные условия, содержащие значения всех переменных величин, характеризующих изучаемый объект в момент начала исследований.

4. Граничные условия, описывающие взаимодействие изучаемого объекта с окружающей его средой по границам объекта.

Совокупность системы основных уравнений и условий однозначности, записанных для изучаемого объекта, представляет собой его полную математическую модель, которая может быть использована для проведения исследований. При этом, если исследование проводится с использованием численных методов (на компьютере или на физической модели), для усиления его результатов целесообразно соблюдать методы теории подобия.

1-7 Почему при использовании численных методов решения или исследования математической модели процесса или аппарата целесообразно применять теорию подобия?

Численные методы (или физический эксперимент) оказываются недостаточными для определения общих закономерностей. Однако, эти методы могут быть существенно усилены с помощью теории подобия.

Сформулирован метод, позволяющий на основании математической модели объекта найти связь между группами величин, входящих в модель, и соединить их в комплексы строго определенного вида. Являясь комбинациями из величин, существенных для изучаемого объекта, комплексы представляют собой особого рода переменные и константы. Все они не имеют размерности.

Переход от обычных физических величин к обобщенным переменным создает важные преимущества для проведения численных исследований. Прежде всего, сокращается число переменных задачи. Кроме того, так как заданное значение комплекса можно получить как результат бесчисленного множества комбинаций составляющих его величин, то, следовательно, при рассмотрении задачи в обобщенных переменных исследуется не единичный частный случай, а бесчисленное множество различных случаев, объединенных некоторой общностью свойств. Иначе говоря, расширяется область применения результатов решения конкретной задачи.

Для того, чтобы усилить полученный результат необходимо в процессе численного решения и при обработке его результатов использовать методы теории подобия.

1-8 В чем заключается смысл теории подобия?

Никогда величина не может зависеть только от 1 параметра, она зависит всегда от комплекса параметров.

(влияние отдельных факторов, представленных в модели объекта определенными величинами, проявляется не порознь, а совместно, и что по сути дела надо рассматривать не эти отдельные величины, а их совокупности, определенные для каждого изучаемого объекта)

1-9 Как получаются безразмерные комплексы на основании теории подобия? Что такое критерий подобия и что такое безразмерное число?

Составляются из одноименных величин, заданных в условиях однозначности. Число- (безразмер. независим. переменная или безразмер. функция) - безразмерный комплекс, составленный по опред. правилам из величин, входящих в математич. модель изучаемого объекта, среди которых имеются искомые или независимые переменные величины. Критерий подобия (безразмер. параметр задачи) -безразмер. комплекс, составленный по опред. правилам из величин, заданных в условиях однозначности математич. модели. Критерий подобия всегда имеет опред. физический смысл.

1-10 Сформулируйте теорему подобия Ньютона. Что такое индикатор подобия?

Теорема подобия Ньютона: Если объекты подобны, то индикатор подобия равен единице. и между объектами существует зависимость: , где -масштаб подобия по фактору «х».

Комплекс, составленный из масштабов подобия, называется индикатором подобия.

1-11 Напишите выражение критерия Фруда. Каков физический смысл этого критерия подобия?

-характеризует отношение между силой инерции и силой тяжести (гравитационный критерий)

где g- ускорение свободного падения, - определяющий размер, -начальная скорость жидкости.

1-12 Напишите выражение числа Эйлера. Каков физический смысл этого безразмерного комплекса?

Этот безразмерный комплекс называют числом Эйлера. Это число характеризует соотношение сил давления и сил инерции. В уравнения конвективного теплообмена зависимая переменная Еu входит только под знаком производной. Следовательно, для рассматриваемой нами несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами существенно не абсолютное значение давления, а его изменение (в случае сжимаемых течений нужно учитывать зависимость плотности от давления; в этом случае представляет интерес абсолютная величина давления). Поэтому число Эйлера обычно представляют в виде
или
где p₀ — какое-либо фиксированное значение давления, например давление на входе в канал. Это давление может быть неизвестной величиной. Для многих процессов течения и теплоотдачи существен не только размер ₀, но и некоторые другие характерные размеры.

1-13 Напишите выражение критерия Рейнольдса. Каков физический смысл этого безразмерного комплекса?

Число Рейнольдса (критерий Рейнольдса) , где

Где u — характерная скорость, м/с; l — характерный размер, м; — кинематическая вязкость среды, м²/с

Физический смысл числа Рейнольдса заключается в смене режимов течения жидкости. Число Рейнольдса есть отношение сил инерции, действующих в потоке, к силам вязкости. Если преобладают первые, то режим движения турбулентный, если вторые - ламинарный. Турбулентные потоки возникают при высоких скоростях движения жидкости и малой вязкости, ламинарные потоки возникают в условиях медленного течения и в вязких жидкостях.