Оценка достоверности выборочного уравнения регрессии и его параметров

Если уравнение регрессии построено по выборочным данным, то оно является лишь оценкой генерального уравнения.

Для парной линейной регрессии является оценкой .

Выборочные оценки параметров и уравнение в целом могут оказаться незначимыми для генеральной совокупности в силу ошибок выборки, поэтому необходима проверка их достоверности (значимости). Проверить достоверность уравнения регрессии – значит, установить: соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными связям в генеральной совокупности и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной

Достоверным (существенным) показателем связи называют тот, величина которого сформировалась под действием закономерности, имеющей место в генеральной совокупности; под достоверностью в математической статистике понимают вероятность того, что значение проверяемого показателя связи не равно нулю и не включает в себя величины противоположных знаков. Недостоверный (несущественный) показатель формируется под влиянием случайных причин.

Проверка достоверности уравнения в целом проводится на основе дисперсионного анализа по критерию F-Фишера.

Схема.

1. Выдвигается рабочая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий: дисперсии, воспроизведенной (σ²_регр.) уравнением регрессии, и остаточной дисперсии (σ ²_ост.), а также альтернативная ей:

Н₀: σ ²_регр. = σ ²_ост.

Н_a: σ ²_регр. ¹ σ ²_ост

2. Выбирается уровень значимости критерия .

3. Производится разложение общего объема вариации:

4. Определяется число степеней свободы, которое обозначается d.f. или v:

v_общ.=n-1, где n – численность выборки;

v_регр.=m (m – число параметров без условного начала). Для парной линейной регрессии v_регр.=1

v_ост..=n-m-1. Для парной линейной регрессии v_{ост .}= n-2.

5. Рассчитываются выборочные несмещенные оценки дисперсий путем деления вариации на число степеней свободы:

6. Определяется фактическое значение F-критерия Фишера:

7. Определяется табличное значение критерия:

8. Делается статистический вывод:

а) Fфакт.≤ Fтабл.ÞН₀ (σ²_факт.= σ ²_ост.)

б) Fфакт.> Fтабл.ÞН_a (σ ²_факт. ¹ σ ²_ост)

Делается заключение о значимости уравнения в целом, в случае принятия альтернативной гипотезы при выбранном уровне вероятности суждения , либо – о его недостоверности, если была принята нулевая гипотеза.

Если уравнение регрессии в целом значимо, то имеет смысл оценить значимость его параметров по t-критерию Стьюдента.

Схема t-теста:

1. Формулируются рабочая и альтернативная гипотезы:

2. Выбирается уровень значимости критерия (0,05).

3. Рассчитываются средние ошибки выборочных характеристик:

,

где – выборочная дисперсия независимой переменной х.

4. Определяются фактические значения t-критерия:

5. Определяется критическое значение: .

6. Фактические значения сравниваются с табличным. Тестируемые параметры будут значимыми, если:

Отметим, что парной линейной модели, поскольку в модели всего один регрессор:

.

Если параметры уравнения оказались значимыми, то возможна их интерпретация и распространение выводов на генеральную совокупность.

В этом случае возможна их интервальная оценка:

Нужно иметь ввиду, что существенные параметры регрессии не могут менять знаки на противоположные. Если нижняя граница у Вас получается отрицательной, а выборочный параметр при этом – положительный, то в качестве нижней границы следует взять ноль. Аналогично для коэффициента корреляции, к тому же нужно помнить, что он изменяется в пределах от -1 до 1, соответственно предельные границы в генеральной совокупности не могут превышать по модулю единицу.