Прогноз и оценка его точности на основе уравнения парной линейной регрессии

Важным направлением использования уравнений связи является их применение для прогнозирования ожидаемых результатов при заданном уровне факторов для целей управления исследуемой совокупностью. Использование регрессионной модели для прогнозирования состоит в подстановке в уравнение регрессии ожидаемых значений факторных признаков для расчета точечного прогноза результативного признака и его доверительного интервала с заданной вероятностью.

Поскольку не все значения результативного признака лежат на линии регрессии, то использование уравнения регрессии для прогнозирования приведет к некоторой погрешности (ошибке) в оценке анализируемого показателя. Можно назвать два источника возникновения этой погрешности. Во-первых, решенное по выборочным данным уравнение регрессии является всего лишь одним из множества возможных по воле случая подобных уравнений. Каждое из них является лучшим или худшим приближением к истинной (генеральной) линии связи. Во-вторых, уравнение регрессии не воспроизводит общую вариацию результативного признака в полном объеме; остаточная вариация вносит свой вклад в величину погрешности (ошибки) прогноза.

Ошибка точечного прогноза или ошибка положения линии регрессии покажет, на какую величину в среднем точечные прогнозы по всем возможным выборочным линиям регрессии будут отличаться от прогнозного значения результативного признака, определенного по истинной (генеральной) линии связи.

Чтобы понять, как строится формула ошибки, обратимся к уравнению линейной регрессии: . Учитывая, что , уравнение примет вид: . Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки выборочной средней и ошибки коэффициента регрессии: . Из теории выборки известно, что . Используя в качестве оценки σ²_у остаточную дисперсию s²_ост. и учитывая вышеприведенную формулу стандартной ошибки коэффициента регрессии, имеем выражение:

= .

Из данной формулы видно, что ошибка положения линии регрессии в прогнозной точке зависит от ошибок отдельных параметров уравнения и от того, как сильно значение признака-фактора отклоняется от его среднего значения. Чем больше разность , тем больше ошибка , с которой предсказывается значение для заданного значения х.

Доверительные интервалы положения линии регрессии при заданном х определяются выражением

где а – уровень значимости. На рисунке 3.1. доверительные границы для представлены гиперболами, расположенными по обе стороны от выборочной линии регрессии.

Однако фактические значения y_i отклоняются от уравнения регрессии на величину случайной ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы s² _ост. Поэтому ошибка прогноза индивидуального значения y_i должна учитывать не только ошибку положения линии регрессии, но и остаточную вариацию. Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения результативного признака y_i(х) составит

3.14.

Доверительный интервал индивидуального прогноза дает возможность в каждом отдельном случае с определенной вероятностью указать, что величина результативного признака окажется в определенном интервале относительно значения, вычисленного по уравнению связи.