Распространение упругих волн в твердых телах

В твердых телах, как и в газе, колебания, возникшие в каком-либо месте, не остаются локализованными в этом месте, а распространяются в виде волн. Простейшими являются продольные волны в изотропных упругих телах, аналогичные звуковым волнам в газе. Покажем, как определить скорость таких волн.

Рассмотрим, например, стержень, вдоль которого распространяется волна сжатий и растяжений. Такой стержень аналогичен трубе с газом, рассмотренной в п. 5.6. Если смещение частиц стержня в его начале за время dt равно ds, то разделив эту величину на расстояние v _зв dt, пройденное звуковой волной за время dt (v _зв – скорость звука), получим так же, как и в п. 5.6, относительную деформацию стержня

где v – скорость частиц стержня (в некоторый момент времени). Умножив далее выражение v / на модуль Юнга E, мы определим напряжение в стержне

Произведение на площадь поперечного сечения стержня S дает силу F, вызывающую деформацию, которая должна быть в свою очередь, равна изменению импульса стержня за единицу времени. Последнее, так же, как и в п. 5.6, равно 𝜌v _зв dtSv. Действительно, за время dt в волновое движение вовлекаются частицы стержня в объеме v _зв dtS, масса их равна 𝜌v _зв dtS (𝜌 – плотность стержня), а импульс равен 𝜌v _зв dtSv. Поэтому мы можем записать равенство

= 𝜌v _зв dtSv,

откуда

(8.1)

Эта формула имеет ту же структуру, что и формула

определяющая скорость звука в газах, только роль модуля Юнга играет в случае газов величина давления p, умноженная на показатель адиабаты .

В твердых телах могут распространяться не только продольные колебания, как в газах и жидкостях. В изотропных твердых телах возможно распространение как продольных, так и поперечных упругих волн. В продольной волне смещение частиц происходит вдоль направления ее распространения, в поперечной – перпендикулярно этому направлению.

Однако скорость самых различных упругих колебаний определяется формулой типа (8.1), в которую вместо Е следует лишь подставить модуль упругости (либо напряжение), соответствующий той деформации, которая распространяется в виде волны. Так, скорость поперечных упругих волн в твердом изотропном теле определяется формулой

где – модуль сдвига.

Таким образом, в изотропном твердом теле по любому направлению могут распространяться продольная упругая волна со скоростью и две поперечные волны (со взаимно перпендикулярным направлением поперечных колебаний) со скоростью

Отметим при этом, что скорость продольных волн всегда больше скорости поперечных волн. Так, например, в стали скорость продольных волн равна 6000 м/с, а поперечных – соответственно 3000 м/с. На различии скорости продольных и поперечных упругих волн в земной коре основан, между прочим, метод определения места землетрясения.

В анизотропных твердых телах, т.е. кристаллах упругие волны носят гораздо более сложный характер, чем в изотропных телах, так как в кристаллах в каждом направлении могут распространяться три волны с различающимися, вообще говоря, скоростями, причем эти скорости зависят от направления распространения.

Смещения частиц в этих волнах имеют составляющие как вдоль, так и поперек направления распространения. Поэтому упругие волны в кристаллах нельзя разделить на продольные и поперечные. Однако векторы смещения в трех волнах, распространяющихся в одном направлении, всегда ортогональны друг другу.

Помимо объемных упругих волн, в твердых телах могут распространяться также еще особые упругие волны, не проникающие в глубь вещества. Они называются поверхностными или рэлеевскими волнами. Скорость их в изотропных твердых телах несколько меньше скорости поперечных волн.

Следует отметить, что поученное выше выражение для скорости звука не зависит от его частоты. При этом скорость распространения волны не зависит от ее формы. В самом деле, всякую волну всегда можно представит в виде суперпозиции монохроматических волн, и если отдельные компоненты этой суперпозиции распространяются с одинаковой скоростью, то с такой же скоростью будет распространяться и вся волна в целом.

Следует однако иметь в виду, что в действительности скорость упругих волн постоянна только в области достаточно малых частот или больших длин волн. Именно в твердых телах для этого необходимо, чтобы длина волны 𝜆 была значительно больше постоянной решетки a. Только при выполнении условия 𝜆 >> a скорость звука не зависит от частоты. Если же длина волны становится сравнимой с постоянной решетки, то возникает сильная зависимость скорости распространения от чатоты или длины волны. Это явление носит название дисперсии звука.